Longtime asymptotics of the two-dimensional parabolic Anderson model with white-noise potential

Abstract

We consider the parabolic Anderson model (PAM) ${\partial }_{\mathit{t}}\mathit{u}=\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }\mathit{u}+\mathit{\xi }\mathit{u}$ in ${\mathbb{R}}^2$ with a Gaussian (space) white-noise potential ξ. We prove that the almost-sure large-time asymptotic behaviour of the total mass at time t, written $\mathit{U}(\mathit{t})$, is given by $log\mathit{U}(\mathit{t})\sim \mathit{\chi }\mathit{t}log\mathit{t}$ for $\mathit{t}\to \infty$, with the deterministic constant χ identified in terms of a variational formula. In earlier work of one of the authors this constant was used to describe the asymptotic behaviour ${\mathit{\lambda }}_1({\mathit{Q}}_{\mathit{t}})\sim \mathit{\chi }log\mathit{t}$ of the principal eigenvalue ${\mathit{\lambda }}_1({\mathit{Q}}_{\mathit{t}})$ of the Anderson operator with Dirichlet boundary conditions on the box ${\mathit{Q}}_{\mathit{t}}={[-\frac{\mathit{t}}{2},\frac{\mathit{t}}{2}]}^2$.

Nous considérons le modèle parabolique d’Anderson (PAM) ${\partial }_{\mathit{t}}\mathit{u}=\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }\mathit{u}+\mathit{\xi }\mathit{u}$ dans ${\mathbb{R}}^2$ avec un potentiel de bruit blanc ξ en espace. Nous prouvons que le comportement asymptotique presque sûr de la masse totale $\mathit{U}(\mathit{t})$ au temps t est donnée par $log\mathit{U}(\mathit{t})\sim \mathit{\chi }\mathit{t}log\mathit{t}$ pour $\mathit{t}\to \infty$, avec une constante déterministe χ que nous identifions à l’aide d’une formule variationnelle. Cette constante a déjà été utilisée, dans un travail antérieur de l’un des auteurs, pour décrire le comportement asymptotique ${\mathit{\lambda }}_1({\mathit{Q}}_{\mathit{t}})\sim \mathit{\chi }log\mathit{t}$ de la valeur propre principale ${\mathit{\lambda }}_1({\mathit{Q}}_{\mathit{t}})$ de l’opérateur d’Anderson muni de conditions aux limites de Dirichlet sur la boîte ${\mathit{Q}}_{\mathit{t}}={[-\frac{\mathit{t}}{2},\frac{\mathit{t}}{2}]}^2$.