Abstract
We consider deterministic homogenization for discrete-time fast–slow systems of the form
and give conditions under which the dynamics of the slow equations converge weakly to an Itô diffusion X as . The drift and diffusion coefficients of the limiting stochastic differential equation satisfied by X are given explicitly. This extends the results of Kelly–Melbourne (J. Funct. Anal. 272 (2017) 4063–4102) from the continuous-time case to the discrete-time case. Moreover, our methods (p-variation rough paths) work under optimal moment assumptions.
Combined with parallel developments on martingale approximations for families of nonuniformly expanding maps in Part 1 by Korepanov, Kosloff and Melbourne, we obtain optimal homogenization results when is such a family of maps.
Nous étudions l’homogénéisation déterministe des systèmes lents-rapides en temps discret de la forme suivante
et donnons des conditions sous lesquelles la dynamique des équations lentes converge en loi vers une diffusion d’Itô X quand . Nous calculons explicitement la dérive et les coefficients de diffusion de l’équation différentielle stochastique vérifiée par X. Ceci étend les résultats de Kelly–Melbourne (J. Funct. Anal. 272 (2017) 4063–4102) du temps continu au temps discret. De plus, notre méthode (chemins rugueux en p-variation) fonctionne sous des conditions de moments optimales.
Nous obtenons aussi des résultats optimaux d’homogénéisation quand est une famille de transformations non uniformément dilatantes. Ces résultats exploitent les développements parallèles dans la partie 1 (par Korepanov, Kosloff et Melbourne) sur l’approximation par des martingales pour ce type de transformations.
Funding Statement
I.C. is funded by a Junior Research Fellowship of St John’s College, Oxford. P.K.F. acknowledges partial support from the ERC, CoG-683164, the Einstein Foundation Berlin, and DFG research unit FOR2402. A.K. and I.M. acknowledge partial support from the European Advanced Grant StochExtHomog (ERC AdG 320977). A.K. is also supported by an Engineering and Physical Sciences Research Council grant EP/P034489/1. H.Z. is supported by the Chinese National Postdoctoral Program for Innovative Talents No: BX20180075.
Acknowledgements
I.C., A.K., and H.Z. thank the Institute für Mathematik, TU Berlin, for its hospitality. We are grateful to the referees for helpful suggestions.
Citation
Ilya Chevyrev. Peter Friz. Alexey Korepanov. Ian Melbourne. Huilin Zhang. "Deterministic homogenization under optimal moment assumptions for fast–slow systems. Part 2." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 58 (3) 1328 - 1350, August 2022. https://doi.org/10.1214/21-AIHP1203
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