Universality classes for general random matrix flows

Abstract

We consider matrix-valued processes described as solutions to stochastic differential equations of very general form. We study the family of the empirical measure-valued processes constructed from the corresponding eigenvalues. We show that the family indexed by the size of the matrix is tight under very mild assumptions on the coefficients of the initial SDE. We characterize the limiting distributions of its subsequences as solutions to an integral equation. We use this result to study some universality classes of random matrix flows. These generalize the classical results related to Dyson Brownian motion and squared Bessel particle systems. We study some new phenomena as the existence of the generalized Marchenko–Pastur distributions supported on the real line. We also introduce universality classes related to generalized geometric matrix Brownian motions and Jacobi processes. Finally we study, under some conditions, the convergence of the empirical measure-valued process of eigenvalues associated to matrix flows to the law of a free diffusion.

Nous considérons des processus à valeurs matricielles décrits comme des solutions d’équations différentielles stochastiques d’une forme très générale. Nous étudions la famille des processus empiriques à valeurs mesures construits à partir des valeurs propres correspondantes. Nous montrons que la famille indexée par la taille de la matrice est tendue sous des hypothèses faibles sur les coefficients de l’EDS initiale. Nous caractérisons les distributions limites des sous-suites comme solutions d’une équation intégrale. Nous utilisons ce résultat pour étudier certaines classes d’universalité de flots de matrices aléatoires. Ceci généralise le résultat classique lié au mouvement brownien de Dyson et aux systèmes de particules de carré de Bessel. Nous étudions de nouveaux phénomènes comme l’existence de la distribution généralisée de Marchenko–Pastur sur la droite réelle. Nous introduisons aussi une classe d’universalité reliée aux processus matriciels browniens géométriques et aux processus de Jacobi. Enfin, nous étudions, sous certaines conditions, la convergence du processus des mesures empiriques des valeurs propres associées aux flots de matrices, vers la loi d’une diffusion libre.