Uniform spanning forests on biased Euclidean lattices

Abstract

The uniform spanning forest measure ($\mathsf{USF}$) on a locally finite, infinite connected graph with conductance c, is defined as a weak limit of uniform spanning tree measure on finite subgraphs. Depending on the underlying graph and conductances, the corresponding $\mathsf{USF}$ is not necessarily concentrated on the set of spanning trees. Pemantle (Ann. Probab. 19 (1991) 1559–1574) showed that on ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$, equipped with the unit conductance $\mathit{c}=1$, $\mathsf{USF}$ is concentrated on spanning trees if and only if $\mathit{d}\le 4$. In this work we study the $\mathsf{USF}$ associated with conductances $\mathit{c}(\mathit{e})={\mathit{\lambda }}^{-|\mathit{e}|}$, where $|\mathit{e}|$ is the graph distance of the edge e from the origin, and $\mathit{\lambda }\in (0,1)$ is a fixed parameter. Our main result states that in this case $\mathsf{USF}$ consists of finitely many trees if and only if $\mathit{d}=2$ or 3. More precisely, we prove that the uniform spanning forest has $2^{\mathit{d}}$ trees if $\mathit{d}=2$ or 3, and infinitely many trees if $\mathit{d}\ge 4$. Our method relies on the analysis of the spectral radius and the speed of the λ-biased random walk on ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$.

La forêt couvrante uniforme (notée $\mathsf{USF}$) sur un graphe connexe, infini et localement fini avec conductance $\mathit{c}(·)$, est définie comme la loi limite de l’arbre couvrant uniforme de sous-graphes finis. Suivant le graphe et les conductances, la mesure $\mathsf{USF}$ ne porte pas nécessairement sur l’ensemble des arbres couvrants. Pemantle (Ann. Probab. 19 (1991) 1559–1574) a démontré que sur ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$ muni de la conductance unité $\mathit{c}=1$, $\mathsf{USF}$ porte sur les arbres couvrants si et seulement si $\mathit{d}\le 4$. Dans ce travail, nous étudions $\mathsf{USF}$ associée aux conductances $\mathit{c}(\mathit{e})={\mathit{\lambda }}^{-|\mathit{e}|}$, où $|\mathit{e}|$ est la distance entre l’arête e et l’origine, et $\mathit{\lambda }\in ]0,1[$ est un paramètre fixé. Notre résultat principal montre que dans ce cas, $\mathsf{USF}$ porte sur un nombre fini d’arbres si et seulement si $\mathit{d}=2$ ou 3. Plus précisément, nous prouvons que la forêt couvrante uniforme contient $2^{\mathit{d}}$ arbres si $\mathit{d}=2$ ou 3, et contient une infinité d’arbres si $\mathit{d}\ge 4$. Notre approche s’appuie sur une analyse du rayon spectral et de la vitesse de la marche aléatoire λ-biaisée sur ${\mathbb{Z}}^{\mathit{d}}$.