Strongly vertex-reinforced jump process on a complete graph

Abstract

The aim of our work is to study vertex-reinforced jump processes with super-linear weight function $\mathit{w}(\mathit{t})={\mathit{t}}^{\mathit{\alpha }}$, for some $\mathit{\alpha }>1$. On any complete graph $\mathit{G}=(\mathit{V},\mathit{E})$, we prove that there is one vertex $\mathit{v}\in \mathit{V}$ such that the total time spent at v almost surely tends to infinity while the total time spent at the remaining vertices is bounded.

Le but de notre travail est d’étudier les processus de sauts renforcés par sites par une fonction de poids sur-linéaire $\mathit{w}(\mathit{t})={\mathit{t}}^{\mathit{\alpha }}$, avec $\mathit{\alpha }>1$. Sur tout graphe complet $\mathit{G}=(\mathit{V},\mathit{E})$, on montre qu’il y a un sommet $\mathit{v}\in \mathit{V}$ tel que le temps total passé en v tend presque sûrement vers l’infini tandis que le temps total passé dans les sommets restants est borné.