The mean-field quantum Heisenberg ferromagnet via representation theory

Abstract

We use representation theory to write a formula for the magnetisation of the quantum Heisenberg ferromagnet. The core new result is a spectral decomposition of the function ${\mathit{\alpha }}_{\mathit{k}}{2}^{{\mathit{\alpha }}_1+\cdots +{\mathit{\alpha }}_{\mathit{n}}}$ where ${\mathit{\alpha }}_{\mathit{k}}$ is the number of cycles of length k of a permutation. In the mean-field case, we simplify the formula further, arriving at a closed-form expression for the magnetisation, which allows to analyse the phase transition.

À l’aide de la théorie des représentations, nous donnons une formule pour la magnétisation du ferro-aimant de Heisenberg quantique. La nouveauté-clé est une décomposition spectrale de la fonction ${\mathit{\alpha }}_{\mathit{k}}{2}^{{\mathit{\alpha }}_1+\cdots +{\mathit{\alpha }}_{\mathit{n}}}$ où ${\mathit{\alpha }}_{\mathit{k}}$ est le nombre de cycles de longueur k d’une permutation. Dans le cas à champ moyen, nous simplifions encore la formule, ce qui donne une expression fermée pour la magnétisation qui permet d’analyser la transition de phase.