Conformal welding for critical Liouville quantum gravity

Abstract

Consider two critical Liouville quantum gravity surfaces (i.e., γ-LQG for $\mathit{\gamma }=2$), each with the topology of $\mathbb{H}$ and with infinite boundary length. We prove that there a.s. exists a conformal welding of the two surfaces, when the boundaries are identified according to quantum boundary length. This results in a critical LQG surface decorated by an independent ${SLE}_4$. Combined with the proof of uniqueness for such a welding, recently established by McEnteggart, Miller, and Qian (2018), this shows that the welding operation is well-defined. Our result is a critical analogue of Sheffield’s quantum gravity zipper theorem (2016), which shows that a similar conformal welding for subcritical LQG (i.e., γ-LQG for $\mathit{\gamma }\in (0,2)$) is well-defined.

Considérons deux surfaces de gravité quantique de Liouville critiques (c’est-à-dire des surfaces γ-LQG avec $\mathit{\gamma }=2$), chacune ayant la topologie de $\mathbb{H}$ et avec une longueur de bord infinie. Nous montrons qu’il existe p.s. une soudure conforme des deux surfaces quand les bords sont identifiés selon leur longueur de bord quantique. Ceci résulte en une surface critique LQG décorée d’un ${SLE}_4$ indépendant. En combinant ceci avec le résultat d’unicité d’une telle soudure, démontré récemment par McEnteggart, Miller, et Qian (2018), nous montrons que l’opération de soudure est bien définie. Notre résultat est un analogue dans le cas critique du théorème de la « fermeture éclair quantique » de Sheffield (2016), qui démontre le résultat similaire que l’opération de soudure conforme pour la LQG sous-critique (c’est-à-dire avec $\mathit{\gamma }\in (0,2)$) est bien définie.