Persistence exponents in Markov chains

Abstract

We prove the existence of the persistence exponent

$$log\mathit{\lambda }:=\underset{\mathit{n}\to \infty }{lim}\frac{1}{\mathit{n}}log{\mathbb{P}}_{\mathit{\mu }}({\mathit{X}}_0\in \mathit{S},\dots ,{\mathit{X}}_{\mathit{n}}\in \mathit{S})$$

for a class of time homogeneous Markov chains ${\{{\mathit{X}}_{\mathit{i}}\}}_{\mathit{i}\ge 0}$ taking values in a Polish space, where S is a Borel measurable set and μ is an initial distribution. Focusing on the case of $AR(\mathit{p})$ and $MA(\mathit{q})$ processes with $\mathit{p},\mathit{q}\in \mathbb{N}$ and continuous innovation distribution, we study the existence of λ and its continuity in the parameters of the AR and MA processes, respectively, for $\mathit{S}={\mathbb{R}}_{\ge 0}$. For AR processes with log-concave innovation distribution, we prove the strict monotonicity of λ. Finally, we compute new explicit exponents in several concrete examples.

Nous démontrons l’existence de l’exposant de persistance

$$log\mathit{\lambda }:=\underset{\mathit{n}\to \infty }{lim}\frac{1}{\mathit{n}}log{\mathbb{P}}_{\mathit{\mu }}({\mathit{X}}_0\in \mathit{S},\dots ,{\mathit{X}}_{\mathit{n}}\in \mathit{S})$$

pour une classe de chaines de Markov ${\{{\mathit{X}}_{\mathit{i}}\}}_{\mathit{i}\ge 0}$ homogènes en temps avec valeurs dans un espace Polonais, où S est un ensemble Borélien et μ est une distribution initiale. En nous concentrant sur le cas de processus de type $AR(\mathit{p})$ ou $MA(\mathit{q})$ avec $\mathit{p},\mathit{q}\in \mathbb{N}$ et une distribution d’innovation continue, nous étudions l’existence de l’exposant λ et sa continuité par rapport au paramètres des processus AR et MA, pour $\mathit{S}={\mathbb{R}}_{\ge 0}$. Pour des processus AR ayant une distribution d’innovations qui est log-concave, nous démontrons la monotonicité stricte de λ. Finalement, nous calculons explicitement les exposants dans quelques exemples concrets.