Skorohod and rough integration for stochastic differential equations driven by Volterra processes

Abstract

Given a solution Y to a rough differential equation (RDE), a recent result (Ann. Probab. 47 (2019) 1–60) extends the classical Itô-Stratonovich formula and provides a closed-form expression for $\int \mathit{Y}\circ \mathrm{d}\mathbf{X}-\int \mathit{Y}\mathrm{d}\mathit{X}$, i.e. the difference between the rough and Skorohod integrals of Y with respect to X, where X is a Gaussian process with finite p-variation less than 3. In this paper, we extend this result to Gaussian processes with finite p-variation such that $3\le \mathit{p}<4$. The constraint this time is that we restrict ourselves to Volterra Gaussian processes with kernels satisfying a natural condition, which however still allows the result to encompass many standard examples, including fractional Brownian motion with Hurst parameter $\mathit{H}>\frac{1}{4}$. As an application we recover Itô formulas in the case where the vector fields of the RDE governing Y are commutative.

Étant donnée Y une solution d’une équation différentielle rugueuse (RDE), un résultat récent (Ann. Probab. 47 (2019) 1–60) étend la formule d’Itô-Stratonovich et propose une expression explicite pour $\int \mathit{Y}\circ \mathrm{d}\mathbf{X}-\int \mathit{Y}\mathrm{d}\mathit{X}$, c’est-à-dire pour la différence entre l’intégrale rugueuse et l’intégrale de Skorohod de Y par rapport à X, où X est un processus Gaussien avec p-variation plus petite que 3. Dans cet article, nous étendons ce résultat au cas de processus Gaussiens avec p-variation telle que $3\le \mathit{p}<4$. La contrainte ici est que nous nous restreignons au cas de processus Gaussiens de type Volterra avec des noyaux satisfaisant une condition naturelle, ce qui permet néanmoins de traiter beaucoup d’exemples classiques incluant le cas du mouvement Brownien fractionnaire avec paramètre de Hurst $\mathit{H}>\frac{1}{4}$. Comme application, nous retrouvons la formule d’Itô dans le cas où les champs de vecteurs de la RDE gouvernant Y sont commutatifs.