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February 2021 Skorohod and rough integration for stochastic differential equations driven by Volterra processes
Thomas Cass, Nengli Lim
Author Affiliations +
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 57(1): 132-168 (February 2021). DOI: 10.1214/20-AIHP1074

Abstract

Given a solution Y to a rough differential equation (RDE), a recent result (Ann. Probab. 47 (2019) 1–60) extends the classical Itô-Stratonovich formula and provides a closed-form expression for YdXYdX, i.e. the difference between the rough and Skorohod integrals of Y with respect to X, where X is a Gaussian process with finite p-variation less than 3. In this paper, we extend this result to Gaussian processes with finite p-variation such that 3p<4. The constraint this time is that we restrict ourselves to Volterra Gaussian processes with kernels satisfying a natural condition, which however still allows the result to encompass many standard examples, including fractional Brownian motion with Hurst parameter H>14. As an application we recover Itô formulas in the case where the vector fields of the RDE governing Y are commutative.

Étant donnée Y une solution d’une équation différentielle rugueuse (RDE), un résultat récent (Ann. Probab. 47 (2019) 1–60) étend la formule d’Itô-Stratonovich et propose une expression explicite pour YdXYdX, c’est-à-dire pour la différence entre l’intégrale rugueuse et l’intégrale de Skorohod de Y par rapport à X, où X est un processus Gaussien avec p-variation plus petite que 3. Dans cet article, nous étendons ce résultat au cas de processus Gaussiens avec p-variation telle que 3p<4. La contrainte ici est que nous nous restreignons au cas de processus Gaussiens de type Volterra avec des noyaux satisfaisant une condition naturelle, ce qui permet néanmoins de traiter beaucoup d’exemples classiques incluant le cas du mouvement Brownien fractionnaire avec paramètre de Hurst H>14. Comme application, nous retrouvons la formule d’Itô dans le cas où les champs de vecteurs de la RDE gouvernant Y sont commutatifs.

Acknowledgements

The first-named author acknowledges the support of EPSRC Grants EP/M00516X/1 and EP/S026347/1.

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Thomas Cass. Nengli Lim. "Skorohod and rough integration for stochastic differential equations driven by Volterra processes." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 57 (1) 132 - 168, February 2021. https://doi.org/10.1214/20-AIHP1074

Information

Received: 17 June 2019; Revised: 13 May 2020; Accepted: 29 May 2020; Published: February 2021
First available in Project Euclid: 12 March 2021

Digital Object Identifier: 10.1214/20-AIHP1074

Subjects:
Primary: 60H07, 60L20

Rights: Copyright © 2021 Association des Publications de l’Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
37 PAGES

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Vol.57 • No. 1 • February 2021
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