Equidistribution of random walks on compact groups

Abstract

Let ${\mathit{X}}_1,{\mathit{X}}_2,\dots$ be independent, identically distributed random variables taking values from a compact metrizable group G. We prove that the random walk ${\mathit{S}}_{\mathit{k}}={\mathit{X}}_1{\mathit{X}}_2\cdots {\mathit{X}}_{\mathit{k}}$, $\mathit{k}=1,2,\dots$ equidistributes in any given Borel subset of G with probability 1 if and only if ${\mathit{X}}_1$ is not supported on any proper closed subgroup of G, and ${\mathit{S}}_{\mathit{k}}$ has an absolutely continuous component for some $\mathit{k}\ge 1$. More generally, the sum ${\sum }_{\mathit{k}=1}^{\mathit{N}}\mathit{f}({\mathit{S}}_{\mathit{k}})$, where $\mathit{f}:\mathit{G}\to \mathbb{R}$ is Borel measurable, is shown to satisfy the strong law of large numbers and the law of the iterated logarithm. We also prove the central limit theorem with remainder term for the same sum, and construct an almost sure approximation of the process ${\sum }_{\mathit{k}\le \mathit{t}}\mathit{f}({\mathit{S}}_{\mathit{k}})$ by a Wiener process provided ${\mathit{S}}_{\mathit{k}}$ converges to the Haar measure in the total variation metric.

Soient ${\mathit{X}}_1,{\mathit{X}}_2,\dots$ des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées à valeurs dans un groupe compact métrisable G. Nous prouvons que la marche aléatoire ${\mathit{S}}_{\mathit{k}}={\mathit{X}}_1{\mathit{X}}_2\cdots {\mathit{X}}_{\mathit{k}}$, $\mathit{k}=1,2,\dots$ est équidistribuée dans tout sous-ensemble borélien avec probabilité 1 si et seulement si le support de ${\mathit{X}}_1$ n’est pas inclus dans un sous-groupe fermé propre de G, et il existe $\mathit{k}\ge 1$ tel que ${\mathit{S}}_{\mathit{k}}$ possède une composante absolument continue. Plus généralement, nous montrons que la somme ${\sum }_{\mathit{k}=1}^{\mathit{N}}\mathit{f}({\mathit{S}}_{\mathit{k}})$, où $\mathit{f}:\mathit{G}\to \mathbb{R}$ est mesurable au sens de Borel, vérifie la loi forte des grands nombres et la loi du logarithme itéré. Nous démontrons aussi le théorème central limite avec un terme d’erreur pour la même somme, et contruisons une approximation presque sûre du processus ${\sum }_{\mathit{k}\le \mathit{t}}\mathit{f}({\mathit{S}}_{\mathit{k}})$ par un processus de Wiener à condition que ${\mathit{S}}_{\mathit{k}}$ converge vers la mesure de Haar en variation totale.