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February 2021 Equidistribution of random walks on compact groups
Bence Borda
Author Affiliations +
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 57(1): 54-72 (February 2021). DOI: 10.1214/20-AIHP1070

Abstract

Let X1,X2, be independent, identically distributed random variables taking values from a compact metrizable group G. We prove that the random walk Sk=X1X2Xk, k=1,2, equidistributes in any given Borel subset of G with probability 1 if and only if X1 is not supported on any proper closed subgroup of G, and Sk has an absolutely continuous component for some k1. More generally, the sum k=1Nf(Sk), where f:GR is Borel measurable, is shown to satisfy the strong law of large numbers and the law of the iterated logarithm. We also prove the central limit theorem with remainder term for the same sum, and construct an almost sure approximation of the process ktf(Sk) by a Wiener process provided Sk converges to the Haar measure in the total variation metric.

Soient X1,X2, des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées à valeurs dans un groupe compact métrisable G. Nous prouvons que la marche aléatoire Sk=X1X2Xk, k=1,2, est équidistribuée dans tout sous-ensemble borélien avec probabilité 1 si et seulement si le support de X1 n’est pas inclus dans un sous-groupe fermé propre de G, et il existe k1 tel que Sk possède une composante absolument continue. Plus généralement, nous montrons que la somme k=1Nf(Sk), où f:GR est mesurable au sens de Borel, vérifie la loi forte des grands nombres et la loi du logarithme itéré. Nous démontrons aussi le théorème central limite avec un terme d’erreur pour la même somme, et contruisons une approximation presque sûre du processus ktf(Sk) par un processus de Wiener à condition que Sk converge vers la mesure de Haar en variation totale.

Acknowledgements

The author is grateful to István Berkes for helpful discussions about random walks, and to the referee for a careful reading of the manuscript and valuable comments.

Citation

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Bence Borda. "Equidistribution of random walks on compact groups." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 57 (1) 54 - 72, February 2021. https://doi.org/10.1214/20-AIHP1070

Information

Received: 22 June 2019; Revised: 4 December 2019; Accepted: 13 May 2020; Published: February 2021
First available in Project Euclid: 12 March 2021

Digital Object Identifier: 10.1214/20-AIHP1070

Subjects:
Primary: 60B15, 60G50

Rights: Copyright © 2021 Association des Publications de l’Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
19 PAGES

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Vol.57 • No. 1 • February 2021
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