Thresholds for vanishing of ‘Isolated’ faces in random Čech and Vietoris–Rips complexes

Abstract

We study combinatorial connectivity for two models of random geometric complexes. These two models – Čech and Vietoris–Rips complexes – are built on a homogeneous Poisson point process of intensity $n$ on a $d$-dimensional torus, $d>1$, using balls of radius $r_{n}$. In the former, the $k$-simplices/faces are formed by subsets of $(k+1)$ Poisson points such that the balls of radius $r_{n}$ centred at these points have a mutual interesection and in the latter, we require only a pairwise intersection of the balls. Given a (simplicial) complex (i.e., a collection of $k$-simplices for all $k\geq 1$), we can connect $k$-simplices via $(k+1)$-simplices (‘up-connectivity’) or via $(k-1)$-simplices (‘down-connectivity). Our interest is to understand these two combinatorial notions of connectivity for the random Čech and Vietoris–Rips complexes asymptotically as $n\to \infty $. In particular, we analyse in detail the threshold radius for vanishing of isolated $k$-faces for up and down connectivity of both types of random geometric complexes. Though it is expected that the threshold radius $r_{n}=\Theta ((\frac{\log n}{n})^{1/d})$ in coarse scale, our results give tighter bounds on the constants in the logarithmic scale as well as shed light on the possible second-order correction factors. Further, they also reveal interesting differences between the phase transition in the Čech and Vietoris–Rips cases. The analysis is interesting due to non-monotonicity of the number of isolated $k$-faces (as a function of the radius) and leads one to consider ‘monotonic’ vanishing of isolated $k$-faces. The latter coincides with the vanishing threshold mentioned above at a coarse scale (i.e., $\log n$ scale) but differs in the $\log \log n$ scale for the Čech complex with $k=1$ in the up-connected case. For the case of up-connectivity in the Vietoris–Rips complex and for $r_{n}$ in the critical window, we also show a Poisson convergence for the number of isolated $k$-faces when $k\leq d$.

Nous étudions la connectivité combinatoire pour deux modèles de complexes géométriques aléatoires. Ces deux modèles – les complexes de $\v{C}$ech et de Vietoris–Rips – sont construits sur la base d’un processus de Poisson homogène d’intensité $n$ sur un tore de dimension $d$, $d>1$, en utilisant des boules de rayon $r_{n}$. Dans le premier, les $k$-simplexes/faces sont formés par les sous-ensembles de $k+1$ points du processus de Poisson tels que l’intersection des boules de rayon $r_{n}$ centrées en ces points est non vide, et dans le second, nous demandons seulement que les intersections deux-à-deux des boules soient non vides. Étant donné un complexe simplicial (c’est-à-dire une collection de $k$-simplexes pour tous $k\geq 1$), nous pouvons connecter les $k$-simplexes via les $(k+1)$-simplexes (connectivité par le haut) ou via les $(k-1)$-simplexes (connectivité par le bas).

Notre objectif est de comprendre ces deux notions combinatoires de connectivité pour les complexes de Čech et Vietoris–Rips asymptotiquement lorsque $n\to \infty$.

En particulier, nous analysons en détail le rayon critique pour la disparition des $k$-faces isolées pour la connectivité par le haut et par le bas dans les deux types de complexes géométriques aléatoires. Bien qu’il soit attendu que le rayon critique soit $r_{n}=\Theta((\frac{\log n}{n})^{1/d})$ dans une échelle grossière, nos résultats donnent des bornes plus fines sur les constantes dans l’échelle logarithmique et suggère les possibles facteurs correctifs de second ordre. De plus, ils révèlent aussi des différences intéressantes entre les transitions de phase entre les cas de Čech et Vietoris–Rips.

L’analyse est intéressante du fait de la non monotonie du nombre de $k$-faces isolées (comme fonction du rayon) ce qui conduit à considérer une version monotone de la disparition des $k$-faces. Cette dernière coïncide avec le seuil de disparition mentionné précédemment à une échelle grossière (c’est-à-dire à une échelle $\log n$) mais diffère à l’échelle $\log \log n$ pour le complexe de Čech avec $k=1$ pour la connectivité par le haut.

Dans le cas de la connectivité par le haut dans le cas du complexe de Vietoris–Rips et pour $r_{n}$ dans la fenêtre critique, nous montrons aussi une convergence vers un processus de Poisson pour le nombre de $k$-faces isolées quand $k\leq d$.