Existence of densities for the dynamic $\Phi^{4}_{3}$ model

Abstract

We apply Malliavin calculus to the $\Phi^{4}_{3}$ equation on the torus and prove existence of densities for the solution of the equation evaluated at regular enough test functions. We work in the framework of regularity structures and rely on Besov-type spaces of modelled distributions in order to prove Malliavin differentiability of the solution. Our result applies to a large family of Gaussian space–time noises including white noise, in particular the noise may be degenerate as long as it is sufficiently rough on small scales.

Nous appliquons le calcul de Malliavin à l’équation $\Phi^{4}_{3}$ sur le tore et prouvons l’existence des densités pour les évaluations de la solution contre des fonctions test suffisamment régulières. Nous travaillons dans le cadre des structures de régularité et utilisons les espaces de distributions modelées de type Besov afin de prouver la différentiabilité au sens de Malliavin de la solution. Notre résultat s’applique à une large classe de bruits gaussiens en espace-temps incluant le bruit blanc, en particulier le bruit peut être dégénéré tant qu’il est suffisamment irrégulier à petite échelle.