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November 2019 Tube estimates for diffusions under a local strong Hörmander condition
Vlad Bally, Lucia Caramellino, Paolo Pigato
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 55(4): 2320-2369 (November 2019). DOI: 10.1214/18-AIHP950

Abstract

We study lower and upper bounds for the probability that a diffusion process in $\mathbb{R}^{n}$ remains in a tube around a deterministic skeleton path up to a fixed time. The diffusion coefficients $\sigma_{1},\ldots,\sigma_{d}$ may degenerate, but we assume that they satisfy a strong Hörmander condition involving the first order Lie brackets around the skeleton of interest. The tube is written in terms of a norm which accounts for the non-isotropic structure of the problem: in a small time $\delta$, the diffusion process propagates with speed $\sqrt{\delta}$ in the direction of the diffusion vector fields $\sigma_{j}$ and with speed $\delta$ in the direction of $[\sigma_{i},\sigma_{j}]$. We first prove short-time (non-asymptotic) lower and upper bounds for the density of the diffusion. Then, we prove the tube estimate using a concatenation of these short-time density estimates.

On étudie des bornes inférieures et supérieures pour la probabilité qu’un processus de diffusion dans $R^{n}$ reste dans un petit tube autour d’un squelette déterministe jusqu’à un temps fixé. Les coefficients de diffusion $\sigma_{1},\dots,\sigma_{d}$ peuvent dégénérer, mais on suppose qu’ils satisfont à une condition d’Hörmander forte sur les coefficients et leurs crochets de Lie de premier ordre autour du squelette d’intérêt. Le tube est écrit en termes d’une norme qui prend en compte la structure non isotrope du problème: en temps $\delta$ petit, le processus de diffusion se propage avec vitesse $\sqrt{\delta}$ dans la direction des vecteurs de diffusion $\sigma_{j}$ et avec vitesse $\delta$ dans la direction de $[\sigma_{i},\sigma_{j}]$. On prouve d’abord des bornes inférieures et supérieures en temps court (non asymptotiques) pour la densité de la diffusion. Ensuite, on prouve l’estimée de tube en utilisant une concaténation de ces estimées de densité en temps court.

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Vlad Bally. Lucia Caramellino. Paolo Pigato. "Tube estimates for diffusions under a local strong Hörmander condition." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 55 (4) 2320 - 2369, November 2019. https://doi.org/10.1214/18-AIHP950

Information

Received: 11 October 2016; Revised: 12 October 2018; Accepted: 12 November 2018; Published: November 2019
First available in Project Euclid: 8 November 2019

zbMATH: 07161506
MathSciNet: MR4029156
Digital Object Identifier: 10.1214/18-AIHP950

Subjects:
Primary: 60H07, 60H10
Secondary: 60H30

Rights: Copyright © 2019 Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
50 PAGES

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Vol.55 • No. 4 • November 2019
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