Sticky couplings of multidimensional diffusions with different drifts

Abstract

We present a novel approach of coupling two multi-dimensional and non-degenerate Itô processes $(X_{t})$ and $(Y_{t})$ which follow dynamics with different drifts. Our coupling is sticky in the sense that there is a stochastic process $(r_{t})$, which solves a one-dimensional stochastic differential equation with a sticky boundary behavior at zero, such that almost surely $|X_{t}-Y_{t}|\leq r_{t}$ for all $t\geq0$. The coupling is constructed as a weak limit of Markovian couplings. We provide explicit, non-asymptotic and long-time stable bounds for the probability of the event $\{X_{t}=Y_{t}\}$.

On présente une nouvelle approche de couplage de deux processus de Itô $(X_{t})$ et $(Y_{t})$ multi dimensionnels et non dégénérés qui suivent une dynamique avec des drifts différents. Le couplage est collant dans le sens qu’il existe un processus stochastique $(r_{t})$, qui résout une équation différentielle stochastique en dimension un avec un comportement collant à zéro, de sorte que presque sûrement, $|X_{t}-Y_{t}|\leq r_{t}$ pour tous $t\ge0$. Le couplage est construit comme une limite faible de couplages markoviens. On fournit des bornes explicites, non asymptotiques et stables à long terme pour la probabilité de l’événement $\{X_{t}=Y_{t}\}$.