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February 2018 Range and critical generations of a random walk on Galton–Watson trees
Pierre Andreoletti, Xinxin Chen
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 54(1): 466-513 (February 2018). DOI: 10.1214/16-AIHP812

Abstract

In this paper we consider a random walk in random environment on a tree and focus on the boundary case for the underlying branching potential. We study the range $R_{n}$ of this walk up to time $n$ and obtain its correct asymptotic in probability which is of order $n/\log n$. This result is a consequence of the asymptotical behavior of the number of visited sites at generations of order $(\log n)^{2}$, which turn out to be the most visited generations. Our proof which involves a quenched analysis gives a description of the typical environments responsible for the behavior of $R_{n}$.

Dans cet article nous considérons une marche aléatoire en milieu aléatoire sur un arbre, en nous concentrant sur le cas frontière du potentiel branchant sous-jacent. Nous étudions le nombre de points visités par cette marche avant l’instant $n$, $R_{n}$, et obtenons son comportement asymptotique en probabilité qui est de l’ordre de $n/\log n$. Ce résultat est une conséquence du comportement asymptotique du nombre de points visités par la marche au niveau des générations critiques, c’est à dire en $(\log n)^{2}$. La preuve permet une description des environnements typiques qui conduisent au comportement de $R_{n}$.

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Pierre Andreoletti. Xinxin Chen. "Range and critical generations of a random walk on Galton–Watson trees." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 54 (1) 466 - 513, February 2018. https://doi.org/10.1214/16-AIHP812

Information

Received: 14 October 2015; Revised: 24 October 2016; Accepted: 28 November 2016; Published: February 2018
First available in Project Euclid: 19 February 2018

zbMATH: 06880062
MathSciNet: MR3765897
Digital Object Identifier: 10.1214/16-AIHP812

Subjects:
Primary: 60G50 , 60J80 , 60K37

Keywords: Branching random walk , random environment , Random walks , ‎range‎

Rights: Copyright © 2018 Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
48 PAGES


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Vol.54 • No. 1 • February 2018
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