Joint exceedances of random products

Abstract

We analyze the joint extremal behavior of $n$ random products of the form $\prod_{j=1}^{m}X_{j}^{a_{ij}}$, $1\leq i\leq n$, for non-negative, independent regularly varying random variables $X_{1},\ldots,X_{m}$ and general coefficients $a_{ij}\in\mathbb{R}$. Products of this form appear for example if one observes a linear time series with gamma type innovations at $n$ points in time. We combine arguments of linear optimization and a generalized concept of regular variation on cones to show that the asymptotic behavior of joint exceedance probabilities of these products is determined by the solution of a linear program related to the matrix $\mathbf{A}=(a_{ij})$.

Nous étudions le comportement extrémal multivarié de $n$ produits aléatoires de la forme $\prod_{j=1}^{m}X_{j}^{a_{ij}}$, $1\leq i\leq n$, pour des variables aléatoires positives, indépendantes et identiquement distribuées $X_{1},\ldots,X_{m}$ et des coefficients $a_{ij}\in\mathbb{R}$ quelconques. De tels produits apparaissent notamment lorsqu’on observe un échantillon de taille $n$ issu d’une série temporelle linéaire dont les innovations sont de type gamma. En combinant des arguments d’optimisation linéaire et le concept de variations régulières étendu à des cônes, nous montrons que le comportement asymptotique des probabilités de dépassement de seuil multiples pour de tels produits est déterminé par la solution d’un problème de programmation linéaire associé à la matrice $\mathbf{A}=(a_{ij})$.