Abstract
Let $L:=-a(x)(-\Delta)^{\alpha/2}+(b(x),\nabla)$, where $\alpha\in(0,2)$, and $a:\mathbb{R}^{d}\to(0,\infty)$, $b:\mathbb{R}^{d}\to\mathbb{R}^{d}$. Under certain regularity assumptions on the coefficients $a$ and $b$, we associate with the $C_{\infty}(\mathbb{R}^{d})$-closure of $(L,C_{\infty}^{2}(\mathbb{R}^{d}))$ a Feller Markov process $X$, which possesses a transition probability density $p_{t}(x,y)$. To construct this transition probability density and to obtain the two-sided estimates on it, we develop a new version of the parametrix method, which even allows us to handle the case $0<\alpha\leq1$ and $b\neq0$, i.e. when the gradient part of the generator is not dominated by the jump part.
Soit $L:=-a(x)(-\Delta)^{\alpha/2}+(b(x),\nabla)$, avec $\alpha\in(0,2)$, et $a:\mathbb{R}^{d}\to(0,\infty)$, $b:\mathbb{R}^{d}\to\mathbb{R}^{d}$. Sous certaines hypothèses de régularité des coefficients $a$ et $b$, nous associons à la $C_{\infty}(\mathbb{R}^{d})$-fermeture de $(L,C_{\infty}^{2}(\mathbb{R}^{d}))$ un processus de Markov fellerien $X$, possédant une densité de probabilité de transition $p_{t}(x,y)$. Afin de construire cette densité, et d’en obtenir des bornes supérieures et inférieures, nous développons une nouvelle version de la méthode parametrix, qui permet même de traiter le cas où $0<\alpha\leq1$ et $b\neq0$, c’est-à-dire quand la partie de gradient du générateur n’est pas dominée par la partie de saut.
Citation
Victoria Knopova. Alexei Kulik. "Parametrix construction of the transition probability density of the solution to an SDE driven by $\alpha$-stable noise." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 54 (1) 100 - 140, February 2018. https://doi.org/10.1214/16-AIHP796
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