Parametrix construction of the transition probability density of the solution to an SDE driven by $\alpha$-stable noise

Abstract

Let $L:=-a(x)(-\Delta)^{\alpha/2}+(b(x),\nabla)$, where $\alpha\in(0,2)$, and $a:\mathbb{R}^{d}\to(0,\infty)$, $b:\mathbb{R}^{d}\to\mathbb{R}^{d}$. Under certain regularity assumptions on the coefficients $a$ and $b$, we associate with the $C_{\infty}(\mathbb{R}^{d})$-closure of $(L,C_{\infty}^{2}(\mathbb{R}^{d}))$ a Feller Markov process $X$, which possesses a transition probability density $p_{t}(x,y)$. To construct this transition probability density and to obtain the two-sided estimates on it, we develop a new version of the parametrix method, which even allows us to handle the case $0<\alpha\leq1$ and $b\neq0$, i.e. when the gradient part of the generator is not dominated by the jump part.

Soit $L:=-a(x)(-\Delta)^{\alpha/2}+(b(x),\nabla)$, avec $\alpha\in(0,2)$, et $a:\mathbb{R}^{d}\to(0,\infty)$, $b:\mathbb{R}^{d}\to\mathbb{R}^{d}$. Sous certaines hypothèses de régularité des coefficients $a$ et $b$, nous associons à la $C_{\infty}(\mathbb{R}^{d})$-fermeture de $(L,C_{\infty}^{2}(\mathbb{R}^{d}))$ un processus de Markov fellerien $X$, possédant une densité de probabilité de transition $p_{t}(x,y)$. Afin de construire cette densité, et d’en obtenir des bornes supérieures et inférieures, nous développons une nouvelle version de la méthode parametrix, qui permet même de traiter le cas où $0<\alpha\leq1$ et $b\neq0$, c’est-à-dire quand la partie de gradient du générateur n’est pas dominée par la partie de saut.