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August 2017 Overcrowding asymptotics for the $\operatorname{Sine}_{\beta}$ process
Diane Holcomb, Benedek Valkó
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 53(3): 1181-1195 (August 2017). DOI: 10.1214/16-AIHP752


We give overcrowding estimates for the $\operatorname{Sine}_{\beta}$ process, the bulk point process limit of the Gaussian $\beta$-ensemble. We show that the probability of having exactly $n$ points in a fixed interval is given by $e^{-\frac{\beta}{2}n^{2}\log(n)+\mathcal{O}(n^{2})}$ as $n\to\infty$. We also identify the next order term in the exponent if the size of the interval goes to zero.

Nous obtenons des résultats asymptotiques pour le surpeuplement du processus $\operatorname{Sine}_{\beta}$, le processus ponctuel limite dans le milieu du spectre de l’ensemble $\beta$-gaussien. Nous montrons que la probabilité d’observer $n$ points dans un interval fixé est donné par la formule $e^{-\frac{\beta}{2}n^{2}\log(n)+\mathcal{O}(n^{2})}$ quand $n\to\infty$. Nous obtenons aussi une approximation jusqu’à l’ordre suivant lorsque la longueur de l’interval tend vers $0$.


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Diane Holcomb. Benedek Valkó. "Overcrowding asymptotics for the $\operatorname{Sine}_{\beta}$ process." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 53 (3) 1181 - 1195, August 2017.


Received: 30 June 2015; Revised: 3 March 2016; Accepted: 10 March 2016; Published: August 2017
First available in Project Euclid: 21 July 2017

zbMATH: 1381.60021
MathSciNet: MR3689965
Digital Object Identifier: 10.1214/16-AIHP752

Primary: 15B52, 60B20, 60F10

Rights: Copyright © 2017 Institut Henri Poincaré


Vol.53 • No. 3 • August 2017
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