Overcrowding asymptotics for the $\operatorname{Sine}_{\beta}$ process

Abstract

We give overcrowding estimates for the $\operatorname{Sine}_{\beta}$ process, the bulk point process limit of the Gaussian $\beta$-ensemble. We show that the probability of having exactly $n$ points in a fixed interval is given by $e^{-\frac{\beta}{2}n^{2}\log(n)+\mathcal{O}(n^{2})}$ as $n\to\infty$. We also identify the next order term in the exponent if the size of the interval goes to zero.

Nous obtenons des résultats asymptotiques pour le surpeuplement du processus $\operatorname{Sine}_{\beta}$, le processus ponctuel limite dans le milieu du spectre de l’ensemble $\beta$-gaussien. Nous montrons que la probabilité d’observer $n$ points dans un interval fixé est donné par la formule $e^{-\frac{\beta}{2}n^{2}\log(n)+\mathcal{O}(n^{2})}$ quand $n\to\infty$. Nous obtenons aussi une approximation jusqu’à l’ordre suivant lorsque la longueur de l’interval tend vers $0$.