Persistence of some additive functionals of Sinai’s walk

Abstract

We are interested in Sinai’s walk $(S_{n})_{n\in\mathbb{N}}$. We prove that the annealed probability that $\sum_{k=0}^{n}f(S_{k})$ is strictly positive for all $n\in[1,N]$ is equal to $1/(\log N)^{(3-\sqrt{5})/2+o(1)}$, for a large class of functions $f$, and in particular for $f(x)=x$. The persistence exponent $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ first appears in a nonrigorous paper of Le Doussal, Monthus and Fischer, with motivations coming from physics. The proof relies on techniques of localization for Sinai’s walk and uses results of Cheliotis about the sign changes of the bottom of valleys of a two-sided Brownian motion.

Nous nous intéressons à la marche de Sinai $(S_{n})_{n\in\mathbb{N}}$. Nous prouvons que la probabilité annealed que $\sum_{k=0}^{n}f(S_{k})$ soit strictement positive pour tout $n\in[1,N]$ est égale à $1/(\log N)^{(3-\sqrt{5})/2+o(1)}$, pour une large classe de fonctions $f$, et en particulier pour $f(x)=x$. L’exposant de persistance $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ est d’abord apparu dans un article non rigoureux de Le Doussal, Monthus et Fischer, avec des motivations venant de la physique. La preuve est basée sur des techniques de localisation pour la marche de Sinai et utilise des résultats de Cheliotis sur les changements de signe des fonds de vallées d’un mouvement Brownien indexé par $\mathbb{R}$.