Random directed forest and the Brownian web

Abstract

Consider the $d$ dimensional lattice $\mathbb{Z}^{d}$ where each vertex is open or closed with probability $p$ or $1-p$ respectively. An open vertex $\mathbf{u}:=(\mathbf{u}(1),\mathbf{u}(2),\ldots,\mathbf{u}(d))$ is connected by an edge to another open vertex which has the minimum $L_{1}$ distance among all the open vertices $\mathbf{x}$ with $\mathbf{x}(d)>\mathbf{u}(d)$. It is shown that this random graph is a tree almost surely for $d=2$ and $3$ and it is an infinite collection of disjoint trees for $d\geq4$. In addition, for $d=2$, we show that when properly scaled, the family of its paths converges in distribution to the Brownian web.

Nous considérons le réseau $\mathbb{Z}^{d}$ dont les sommets sont ouverts ou fermés, respectivement avec probabilité $p$ et $1-p$. Chaque sommet ouvert $\mathbf{u}=(\mathbf{u}(1),\mathbf{u}(2),\dots,\mathbf{u}(d))$ est connecté par une arête au sommet ouvert $\mathbf{x}$ le plus proche de lui, pour la distance $L_{1}$, et satisfaisant $\mathbf{x}(d)>\mathbf{u}(d)$. Nous montrons que le graphe aléatoire résultant est presque sûrement un arbre pour $d=2$ et $3$, et qu’il est une collection infinie d’arbres disjoints pour $d\geq4$. De plus, pour $d=2$, nous montrons que la famille de ses trajectoires correctement renormalisées converge en loi vers la toile Brownienne.