Large deviations for non-Markovian diffusions and a path-dependent Eikonal equation

Abstract

This paper provides a large deviation principle for non-Markovian, Brownian motion driven stochastic differential equations with random coefficients. Similar to Gao and Liu (Stoch. Dyn. 6 (2006) 487–520), this extends the corresponding results collected in Freidlin and Wentzell (Random Perturbations of Dynamical Systems (1984) Springer). However, we use a different line of argument, adapting the PDE method of Fleming (Appl. Math. Optim. 4 (1978) 329–346) and Evans and Ishii (Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 2 (1985) 1–20) to the path-dependent case, by using backward stochastic differential techniques. Similar to the Markovian case, we obtain a characterization of the action function as the unique bounded solution of a path-dependent version of the Eikonal equation. Finally, we provide an application to the short maturity asymptotics of the implied volatility surface in financial mathematics.

Nous montrons un principe de grandes déviations pour les équations différentielles stochastiques non-markoviennes, dirigées par un mouvement brownien, et à coefficients aléatoires dépendant de l’ensemble du passé. Comme dans Gao et Liu (Stoch. Dyn. 6 (2006) 487–520), ceci étend les résultats correspondants dans Freidlin et Wentzell (Random Perturbations of Dynamical Systems (1984) Springer). Cependant, nous utilisons un argument différent, adaptant la méthode d’EDP de Fleming (Appl. Math. Optim. 4 (1978) 329–346) et Evans et Ishii (Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 2 (1985) 1–20) au cas des équations dépendant des trajectoires, en utilisant des techniques d’équations différentielles stochastiques rétrogrades. Comme dans le cas markovien, nous obtenons une caractérisation de la fonction d’action comme l’unique solution bornée d’une version non markovienne de l’équation eikonale. Enfin, nous proposons une application à l’analyse asymptotique, en maturité courte, de la surface de volatilité implicite en mathématiques financières.