Rescaled bipartite planar maps converge to the Brownian map

Abstract

For every integer $n\geq1$, we consider a random planar map $\mathcal{M}_{n}$ which is uniformly distributed over the class of all rooted bipartite planar maps with $n$ edges. We prove that the vertex set of $\mathcal{M}_{n}$ equipped with the graph distance rescaled by the factor $(2n)^{-1/4}$ converges in distribution, in the Gromov–Hausdorff sense, to the Brownian map. This complements several recent results giving the convergence of various classes of random planar maps to the Brownian map.

Pour tout entier $n$ strictement positif, on considère une carte planaire aléatoire $\mathcal{M}_{n}$ de loi uniforme sur l’ensemble des cartes biparties enracinées à $n$ arêtes. On montre que l’ensemble des sommets de $\mathcal{M}_{n}$ muni de la distance de graphe renormalisée par $(2n)^{-1/4}$ converge en loi au sens de Gromov–Hausdorff vers la carte brownienne. Ce travail complète une série de résultats de convergence de différents modèles de cartes aléatoires vers la carte brownienne.