Spectral gap properties for linear random walks and Pareto’s asymptotics for affine stochastic recursions

Abstract

Let $V=\mathbb{R}^{d}$ be the Euclidean $d$-dimensional space, $\mu$ (resp. $\lambda$) a probability measure on the linear (resp. affine) group $G=\operatorname{GL} (V)$ (resp. $H=\operatorname{Aff} (V))$ and assume that $\mu$ is the projection of $\lambda$ on $G$. We study asymptotic properties of the iterated convolutions $\mu^{n}*\delta_{v}$ (resp. $\lambda^{n}*\delta_{v})$ if $v\in V$, i.e. asymptotics of the random walk on $V$ defined by $\mu$ (resp. $\lambda$), if the subsemigroup $T\subset G$ (resp. $\varSigma\subset H$) generated by the support of $\mu$ (resp. $\lambda$) is “large.” We show spectral gap properties for the convolution operator defined by $\mu$ on spaces of homogeneous functions of degree $s\geq0$ on $V$, which satisfy Hölder type conditions. As a consequence of our analysis we get precise asymptotics for the potential kernel $\sum_{0}^{\infty}\mu^{k}*\delta_{v}$, which imply its asymptotic homogeneity. Under natural conditions the $H$-space $V$ is a $\lambda$-boundary; then we use the above results and radial Fourier Analysis on $V\setminus\{0\}$ to show that the unique $\lambda$-stationary measure $\rho$ on $V$ is “homogeneous at infinity” with respect to dilations $v\rightarrow tv$ (for $t>0$), with a tail measure depending essentially of $\mu$ and $\varSigma$. Our proofs are based on the simplicity of the dominant Lyapunov exponent for certain products of Markov-dependent random matrices, on the use of renewal theorems for “tame” Markov walks, and on the dynamical properties of a conditional $\lambda$-boundary dual to $V$.

Soit $V$ l’espace Euclidien de dimension $d$, $\mu$ (resp. $\lambda$) une probabilité sur le groupe linéaire (resp. affine) $G=\operatorname{GL} (V)$ (resp. $H=\operatorname{Aff} (V)$) et supposons que $\mu$ soit la projection de $\lambda$ sur $G$. Nous étudions certaines propriétés asymptotiques des convolutions itérées de $\mu$ (resp. $\lambda$) appliquées à un vecteur non nul $v\in V$, c’est à dire de la marche aléatoire sur $V$ définie par $\mu$ (resp. $\lambda$), si le semigroupe $T\subset G$ (resp. $\varSigma\subset H$) engendré par le support de $\mu$ (resp. $\lambda$) est « grand ». Nous montrons des propriétés d’isolation spectrale pour l’opérateur de convolution défini par $\mu$ sur des espaces de fonctions homogènes de degré $s\geq0$ sur $V$, qui satisfont des conditions du type de Hölder. Comme conséquence de notre analyse nous obtenons des asymptotiques précises pour le noyau potentiel $\sum_{0}^{\infty}\mu^{k}*\delta_{v}$, qui impliquent son homogénéité à l’infini. Sous des conditions naturelles, le $H$-espace $V$ est une $\lambda$-frontière ; nous utilisons alors les résultats précédents et l’analyse de Fourier radiale sur $V\setminus\{0\}$ afin de montrer que l’unique mesure $\lambda$-stationnaire est homogène à l’infini, par rapport aux dilatations $v\rightarrow tv$ (pour $t>0$), avec une mesure de queue qui dépend essentiellement de $\mu$ et $\varSigma$. Nos preuves sont basées sur la simplicité de l’exposant de Lyapunov dominant de certains produits de matrices en dépendance markovienne, sur l’utilisation de théorèmes de renouvellement pour certaines marches markoviennes et sur les propriétés dynamiques d’une $\lambda$-frontière duale de $V$.