Adaptive pointwise estimation of conditional density function

Abstract

In this paper we consider the problem of estimating $f$, the conditional density of $Y$ given $X$, by using an independent sample distributed as $(X,Y)$ in the multivariate setting. We consider the estimation of $f(x,\cdot)$ where $x$ is a fixed point. We define two different procedures of estimation, the first one using kernel rules, the second one inspired from projection methods. Both adaptive estimators are tuned by using the Goldenshluger and Lepski methodology. After deriving lower bounds, we show that these procedures satisfy oracle inequalities and are optimal from the minimax point of view on anisotropic Hölder balls. Furthermore, our results allow us to measure precisely the influence of $\mathrm{f}_{X}(x)$ on rates of convergence, where $\mathrm{f}_{X}$ is the density of $X$. Finally, some simulations illustrate the good behavior of our tuned estimates in practice.

Dans cet article, nous considérons le problème de l’estimation de $f$, la densité conditionnelle de $Y$ sachant $X$, en utilisant un échantillon de même loi que $(X,Y)$, dans le cadre multivarié. On considère l’estimation de $f(x,\cdot)$ où $x$ est un point fixé. Nous définissons deux procédures d’estimation différentes, la première utilisant des estimateurs à noyau, alors que la seconde s’inspire des méthodes de projection. Les deux procédures adaptatives sont calibrées en utilisant la méthodologie proposée par Goldenshulger et Lepski. Une fois obtenu le calcul des bornes inférieures du risque, nous montrons que ces procédures satisfont des inégalités oracles et sont optimales du point de vue minimax sur les boules de Hölder anisotropes. De plus, nos résultats nous permettent de mesurer précisément l’influence de $\mathrm{f}_{X}(x)$ sur les vitesses convergence, où $\mathrm{f}_{X}$ est la densité de $X$. Finalement, des simulations numériques illustrent le bon comportement de nos procédures calibrées en pratique.