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February 2016 Transience of the vacant set for near-critical random interlacements in high dimensions
Alexander Drewitz, Dirk Erhard
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 52(1): 84-101 (February 2016). DOI: 10.1214/14-AIHP631

Abstract

The model of random interlacements is a one-parameter family $\mathcal{I}^{u}$, $u\ge0$, of random subsets of ${\mathbb{Z} }^{d}$, which locally describes the trace of simple random walk on a $d$-dimensional torus run up to time $u$ times its volume. Its complement, the so-called vacant set $\mathcal{V}^{u}$, has been shown to undergo a non-trivial percolation phase-transition in $u$; i.e., there exists $u_{*}(d)\in(0,\infty)$ such that for $u\in[0,u_{*}(d))$ the vacant set $\mathcal{V}^{u}$ contains a unique infinite connected component $\mathcal{V}_{\infty}^{u}$, while for $u>u_{*}(d)$ it consists of finite connected components. It is known (Probab. Theory Related Fields 150 (2011) 575–611, Ann. Probab. 39 (2011) 70–103) that $u_{*}(d)\sim\log d$, and in this article we show the existence of $u(d)>0$ with $\frac{u(d)}{u_{*}(d)}\to1$ as $d\to\infty$ such that $\mathcal{V}_{\infty}^{u}$ is transient for all $u\in[0,u(d))$.

Le modèle des entrelacs aléatoires est une famille $\mathcal{I}^{u}$, $u\geq0$, de sous-ensembles aléatoires de ${\mathbb{Z} }^{d}$. Cette famille décrit localement la trace d’une marche aléatoire sur le tore de dimension $d$ qui évolue jusqu’au temps $u$ fois le volume du tore. Il est connu que l’ensemble vacant $\mathcal{V}^{u}$ fait l’objet d’une transition de phase non-triviale en $u$, c’est-à-dire qu’il existe $u_{*}(d)\in(0,\infty)$ tel que pour $u\in[0,u_{*}(d))$, l’ensemble vacant $\mathcal{V}^{u}$ a une unique composante infinie connexe $\mathcal{V}^{u}_{\infty}$ tandis que pour $u>u_{*}(d)$, toutes les composantes connexes de $\mathcal{V}^{u}$ sont finies. Il est connu (Probab. Theory Related Fields 150 (2011) 575–611, Ann. Probab. 39 (2011) 70–103) que $u_{*}(d)\sim\log d$; dans cette article nous montrons l’existence de $u(d)>0$, avec $\frac{u(d)}{u_{*}(d)}\to1$ quand $d\to\infty$, tel que $\mathcal{V}_{\infty}^{u}$ est transiente pour tout $u\in[0,u(d))$.

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Alexander Drewitz. Dirk Erhard. "Transience of the vacant set for near-critical random interlacements in high dimensions." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 52 (1) 84 - 101, February 2016. https://doi.org/10.1214/14-AIHP631

Information

Received: 10 December 2013; Revised: 14 May 2014; Accepted: 29 June 2014; Published: February 2016
First available in Project Euclid: 6 January 2016

zbMATH: 1333.60202
MathSciNet: MR3449295
Digital Object Identifier: 10.1214/14-AIHP631

Subjects:
Primary: 60G55, 60K35, 82B43

Rights: Copyright © 2016 Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
18 PAGES


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Vol.52 • No. 1 • February 2016
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