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February 2016 Connectedness of Poisson cylinders in Euclidean space
Erik I. Broman, Johan Tykesson
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 52(1): 102-126 (February 2016). DOI: 10.1214/14-AIHP641

Abstract

We consider the Poisson cylinder model in $\mathbb{R}^{d}$, $d\ge3$. We show that given any two cylinders ${\mathfrak{c}}_{1}$ and ${\mathfrak{c}}_{2}$ in the process, there is a sequence of at most $d-2$ other cylinders creating a connection between ${\mathfrak{c}}_{1}$ and ${\mathfrak{c}}_{2}$. In particular, this shows that the union of the cylinders is a connected set, answering a question appearing in (Probab. Theory Related Fields 154 (2012) 165–191). We also show that there are cylinders in the process that are not connected by a sequence of at most $d-3$ other cylinders. Thus, the diameter of the cluster of cylinders equals $d-2$.

Nous considérons un modèle de cylindres suivant un processus de Poisson dans $\mathbb{R}^{d}$, $d\ge3$. Nous montrons que étant donnés deux cylindres ${\mathfrak{c}}_{1}$ et ${\mathfrak{c}}_{2}$ dans le processus, il y a une séquence d’au plus $d-2$ autres cylindres qui créent une connexion entre ${\mathfrak{c}}_{1}$ et ${\mathfrak{c}}_{2}$. En particulier, ceci montre que l’union des cylindres est un ensemble connecté, et répond à une question posée par (Probab. Theory Related Fields 154 (2012) 165–191). Nous montrons aussi qu’il y a des cylindres dans le processus qui ne sont pas connectés par une séquence d’au plus $d-3$ autres cylindres. Donc, le diamètre de l’amas de cylindres est égal à $d-2$.

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Erik I. Broman. Johan Tykesson. "Connectedness of Poisson cylinders in Euclidean space." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 52 (1) 102 - 126, February 2016. https://doi.org/10.1214/14-AIHP641

Information

Received: 17 September 2013; Revised: 9 May 2014; Accepted: 4 September 2014; Published: February 2016
First available in Project Euclid: 6 January 2016

zbMATH: 1179.62076
MathSciNet: MR3449296
Digital Object Identifier: 10.1214/14-AIHP641

Subjects:
Primary: 60K35, 82B43

Rights: Copyright © 2016 Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
25 PAGES


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Vol.52 • No. 1 • February 2016
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