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February 2016 The Brownian web is a two-dimensional black noise
Tom Ellis, Ohad N. Feldheim
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 52(1): 162-172 (February 2016). DOI: 10.1214/14-AIHP636


The Brownian web is a random variable consisting of a Brownian motion starting from each space–time point on the plane. These are independent until they hit each other, at which point they coalesce. Tsirelson mentions this model in (Scaling Limit, Noise, Stability (2004) Springer), along with planar percolation, in suggesting the existence of a two-dimensional black noise. A two-dimensional noise is, roughly speaking, a random object on the plane whose distribution is translation invariant and whose behavior on disjoint subsets is independent. Black means sensitive to the resampling of sets of arbitrarily small total area.

Tsirelson implicitly asks: “Is the Brownian web a two-dimensional black noise?.” We give a positive answer to this question, providing the second known example of such after the scaling limit of critical planar percolation.

La toile brownienne est une collection de mouvements browniens issus de tout point du plan, indépendants jusqu’ à l’instant où ils se rencontrent, à la suite de quoi ils coalescent. Tsirelson mentionne ce modèle dans (Scaling Limit, Noise, Stability (2004) Springer), avec la percolation planaire, comme modèles possibles de bruit noir bidimensionnel. Un bruit bidimensionnel est, en gros, un objet aléatoire dans le plan dont la distribution est invariante par translation et dont le comportement sur des ensembles disjoints est indépendant. Noir signifie sensible au re-échantillonage d’ensembles dont l’aire totale est arbitrairement petite.

Tsirelson demande implicitement : « La toile brownienne est-elle un bruit noir bidimensionnel ? ». Nous répondons positivement à cette question, en donnant le deuxième exemple connu d’un tel bruit après la limite d’échelle de la percolation critique planaire.


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Tom Ellis. Ohad N. Feldheim. "The Brownian web is a two-dimensional black noise." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 52 (1) 162 - 172, February 2016.


Received: 4 June 2013; Revised: 2 June 2014; Accepted: 25 July 2014; Published: February 2016
First available in Project Euclid: 6 January 2016

zbMATH: 1335.60153
MathSciNet: MR3449299
Digital Object Identifier: 10.1214/14-AIHP636

Primary: 60G20

Rights: Copyright © 2016 Institut Henri Poincaré


Vol.52 • No. 1 • February 2016
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