The scaling limits of a heavy tailed Markov renewal process

Abstract

In this paper we consider heavy tailed Markov renewal processes and we prove that, suitably renormalised, they converge in law towards the $\alpha $-stable regenerative set. We then apply these results to the strip wetting model which is a random walk $S$ constrained above a wall and rewarded or penalized when it hits the strip $[0,\infty)\times[0,a]$ where $a$ is a given positive number. The convergence result that we establish allows to characterize the scaling limit of this process at criticality.

Dans cet article, nous considérons des processus de renouvellement markovien à queues lourdes. Nous montrons que, convenablement renormalisés, ils convergent vers l’ensemble régénératif d’indice $\alpha$. Nous appliquons ces résultats à un modèle d’accrochage dans une bande. Dans ce modèle, une marche aléatoire $S$, contrainte à rester au-dessus d’un mur, est récompensée ou pénalisée lorsqu’est atteinte la bande $[0,\infty)\times[0,a]$ où $a$ est un réel strictement positif. La convergence que nous établissons permet de caractériser les limites d’échelle de ce modèle au point critique.