Dynamical hysteresis is a phenomenon which arises in ferromagnetic systems below the critical temperature as a response to adiabatic variations of the external magnetic field. We study the problem in the context of the mean-field Ising model with Glauber dynamics, proving that for frequencies of the magnetic field oscillations of order $N^{-2/3}$, $N$ the size of the system, the “critical” hysteresis loop becomes random.

L’hystérésis dynamique est un phénomène qu’on observe dans les systèmes ferromagnétiques au-dessous de la temperature critique, en réponse à des variations adiabatiques du champ magnétique extérieur. Nous étudions le problème dans le contexte du modéle d’Ising de champ moyen avec la dynamique de Glauber, en montrant que, pour des fréquences d’oscillations du champ magnétique d’ordre de $N^{-2/3}$, avec $N$ la taille du système, la boucle d’hystérésis « critique » devient aléatoire.

The cactus of a pointed graph is a discrete tree associated with this graph. Similarly, with every pointed geodesic metric space $E$, one can associate an $\mathbb{R}$-tree called the continuous cactus of $E$. We prove under general assumptions that the cactus of random planar maps distributed according to Boltzmann weights and conditioned to have a fixed large number of vertices converges in distribution to a limiting space called the Brownian cactus, in the Gromov–Hausdorff sense. Moreover, the Brownian cactus can be interpreted as the continuous cactus of the so-called Brownian map.

Le cactus d’un graphe pointé est un certain arbre discret associé à ce graphe. De façon similaire, à tout espace métrique géodésique pointé $E$, on peut associer un $\mathbb{R}$-arbre appelé cactus continu de $E$. Sous des hypothèses générales, nous montrons que le cactus de cartes planaires aléatoires – dont la loi est déterminée par des poids de Boltzmann, et qui sont conditionnées à avoir un grand nombre fixé de sommets – converge en loi vers un espace limite appelé cactus brownien, au sens de la topologie de Gromov–Hausdorff. De plus, le cactus brownien peut être interprété comme le cactus continu de la carte brownienne.

We consider the spatial $\varLambda $-Fleming–Viot process model (Electron. J. Probab. 15 (2010) 162–216) for frequencies of genetic types in a population living in $\mathbb{R}^{d}$, in the special case in which there are just two types of individuals, labelled $0$ and $1$. At time zero, everyone in a given half-space has type 1, whereas everyone in the complementary half-space has type $0$. We are concerned with patterns of frequencies of the two types at large space and time scales. We consider two cases, one in which the dynamics of the process are driven by purely ‘local’ events and one incorporating large-scale extinction recolonisation events. We choose the frequency of these events in such a way that, under a suitable rescaling of space and time, the ancestry of a single individual in the population converges to a symmetric stable process of index $\alpha\in(1,2]$ (with $\alpha=2$ corresponding to Brownian motion). We consider the behaviour of the process of allele frequencies under the same space and time rescaling. For $\alpha=2$, and $d\geq2$ it converges to a deterministic limit. In all other cases the limit is random and we identify it as the indicator function of a random set. In particular, there is no local coexistence of types in the limit. We characterise the set in terms of a dual process of coalescing symmetric stable processes, which is of interest in its own right. The complex geometry of the random set is illustrated through simulations.

On étudie le processus $\varLambda $-Fleming–Viot spatial (Electron. J. Probab. 15 (2010) 162–216) modélisant les fréquences locales de types génétiques dans une population évoluant dans $\mathbb{R}^{d}$. On considère le cas particulier où il n’y a que deux types possibles, notés $0$ et $1$. Initialement, tous les individus présents dans le demi-espace des points dont la première coordonnée est négative sont de type $1$, tandis que les individus présents dans le demi-espace complémentaire sont de type $0$. On s’intéresse au comportement des fréquences locales sur des échelles de temps et d’espace très grandes. On considère deux cas : dans le premier, l’évolution du processus est due uniquement à des événements ‘locaux’ ; dans le second, on incorpore des événements d’extinction et recolonisation de grande ampleur. On choisit la fréquence de ces événements de sorte qu’après une renormalisation spatiale et temporelle appropriée, la lignée ancestrale d’un individu de la population converge vers un processus $\alpha$-stable symétrique, d’indice $\alpha\in(1,2]$ (où $\alpha=2$ correspond au mouvement brownien). On étudie l’évolution du processus des fréquences alléliques aux mêmes échelles spatio-temporelles. Lorsque $\alpha=2$ et $d\geq2$, celui-ci converge vers un processus déterministe. Dans tous les autres cas, le processus limite est aléatoire et on l’identifie comme la fonction indicatrice d’un ensemble aléatoire évoluant au cours du temps. En particulier, les deux types ne coexistent pas à la limite. On caractérise chaque ensemble en termes d’un processus dual constitué de mouvements stables symétriques coalescents ayant un intérêt en eux-mêmes. La géométrie complexe des ensembles limites est illustrée par des simulations.

We consider the exclusion process in the one-dimensional discrete torus with $N$ points, where all the bonds have conductance one, except a finite number of slow bonds, with conductance $N^{-\beta}$, with $\beta\in[0,\infty)$. We prove that the time evolution of the empirical density of particles, in the diffusive scaling, has a distinct behavior according to the range of the parameter $\beta$. If $\beta\in[0,1)$, the hydrodynamic limit is given by the usual heat equation. If $\beta=1$, it is given by a parabolic equation involving an operator $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}W}$, where $W$ is the Lebesgue measure on the torus plus the sum of the Dirac measure supported on each macroscopic point related to the slow bond. If $\beta\in(1,\infty)$, it is given by the heat equation with Neumann’s boundary conditions, meaning no passage through the slow bonds in the continuum.

Nous considérons le processus d’exclusion dans le tore discret uni-dimensionnel avec $N$ points, où tous les liens ont conductance un, sauf pour un nombre fini de liens lents qui ont conductance $N^{-\beta}$, avec $\beta\in[0,\infty)$. Nous prouvons que l’évolution en temps de la densité empirique de particules, après un changement d’échelle diffusif, a un comportement différent selon la valeur du paramètre $\beta$. Si $\beta\in[0,1)$, la limite hydrodynamique est donnée par l’équation de la chaleur usuelle. Si $\beta=1$, la limite est donnée par une équation parabolique avec un opérateur $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}W}$, où $W$ est la mesure de Lebesgue sur le tore plus la somme des masses de Dirac en chaque point macroscopique relatif à un lien lent. Si $\beta\in(1,\infty)$, la limite est donnée par l’équation de la chaleur avec conditions au bord de Neumann, et ceci traduit l’absence de passage par les liens lents dans le continu.

We study supercritical branching Brownian motion on the real line starting at the origin and with constant drift $c$. At the point $x>0$, we add an absorbing barrier, i.e. individuals touching the barrier are instantly killed without producing offspring. It is known that there is a critical drift $c_{0}$, such that this process becomes extinct almost surely if and only if $c\ge c_{0}$. In this case, if $Z_{x}$ denotes the number of individuals absorbed at the barrier, we give an asymptotic for $P(Z_{x}=n)$ as $n$ goes to infinity. If $c=c_{0}$ and the reproduction is deterministic, this improves upon results of L. Addario-Berry and N. Broutin [1] and E. Aïdékon [2] on a conjecture by David Aldous about the total progeny of a branching random walk. The main technique used in the proofs is analysis of the generating function of $Z_{x}$ near its singular point $1$, based on classical results on some complex differential equations.

Nous étudions le mouvement brownien branchant sur-critique sur la droite réelle, issu de l’origine et avec une dérive constante $c$. Au point $x>0$, nous ajoutons une barrière absorbante, c’est-à-dire les individus qui touchent la barrière sont tués instantanément et sans se reproduire. Il est connu qu’il existe une dérive critique $c_{0}$ tel que ce processus s’éteint presque surement si et seulement si $c\ge c_{0}$. Dans ce cas, si on note par $Z_{x}$ le nombre d’individus absorbés en la barrière, nous donnons un équivalent de $P(Z_{x}=n)$ quand $n$ tend vers l’infini. Si $c=c_{0}$ et la reproduction est déterministe, ceci améliore des résultats de L. Addario-Berry et N. Broutin [1] et E. Aïdékon [2] sur une conjecture de David Aldous concernant la progéniture totale d’une marche aléatoire branchante. La technique principale utilisée dans les preuves est l’analyse de la fonction génératrice de $Z_{x}$ au voisinage de son point singulier $1$, basée sur des résultats classiques concernant certaines équations differéntielles dans le champ complexe.

This paper focuses on directed polymers pinned at a disordered and correlated interface. We assume that the disorder sequence is a $q$-order moving average and show that the critical curve of the annealed model can be expressed in terms of the Perron–Frobenius eigenvalue of an explicit transfer matrix, which generalizes the annealed bound of the critical curve for i.i.d. disorder. We provide explicit values of the annealed critical curve for $q=1$ and $q=2$ and a weak disorder asymptotic in the general case. Following the renewal theory approach of pinning, the processes arising in the study of the annealed model are particular Markov renewal processes. We consider the intersection of two replicas of this process to prove a result of disorder irrelevance (i.e. quenched and annealed critical curves as well as exponents coincide) via the method of second moment.

Dans cet article nous étudions le modèle des polymères dirigés accrochés á une interface désordonnée et corrélée. Nous supposons que le désordre est une moyenne mobile d’ordre $q$ et nous montrons que la courbe critique du modèle annealed peut s’exprimer en fonction de la valeur propre de Perron–Frobenius d’une matrice de transfert explicite, ce qui généralise la borne annealed de la courbe critique dans le cas d’un désordre i.i.d. Nous donnons des valeurs explicites de la courbe annealed pour $q=1$ et $q=2$ et un équivalent á faible désordre dans le cas général. Du point de vue de la théorie du renouvellement, les processus qui interviennent dans l’étude du modèle annealed sont des processus de renouvellement markoviens particuliers. Nous considérons l’intersection de deux répliques de ces processus pour prouver un résultat de non-pertinence du désordre (les courbes ainsi que les exposants critiques annealed et quenched coïncident) via la méthode du moment d’ordre deux.

In this paper we consider heavy tailed Markov renewal processes and we prove that, suitably renormalised, they converge in law towards the $\alpha $-stable regenerative set. We then apply these results to the strip wetting model which is a random walk $S$ constrained above a wall and rewarded or penalized when it hits the strip $[0,\infty)\times[0,a]$ where $a$ is a given positive number. The convergence result that we establish allows to characterize the scaling limit of this process at criticality.

Dans cet article, nous considérons des processus de renouvellement markovien à queues lourdes. Nous montrons que, convenablement renormalisés, ils convergent vers l’ensemble régénératif d’indice $\alpha$. Nous appliquons ces résultats à un modèle d’accrochage dans une bande. Dans ce modèle, une marche aléatoire $S$, contrainte à rester au-dessus d’un mur, est récompensée ou pénalisée lorsqu’est atteinte la bande $[0,\infty)\times[0,a]$ où $a$ est un réel strictement positif. La convergence que nous établissons permet de caractériser les limites d’échelle de ce modèle au point critique.

Random walks in random scenery are processes defined by $Z_{n}:=\sum_{k=1}^{n}\xi_{X_{1}+\cdots+X_{k}}$, where $(X_{k},k\ge1)$ and $(\xi_{y},y\in{\mathbb{Z}}^{d})$ are two independent sequences of i.i.d. random variables with values in ${\mathbb{Z}}^{d}$ and $\mathbb{R}$ respectively. We suppose that the distributions of $X_{1}$ and $\xi_{0}$ belong to the normal basin of attraction of stable distribution of index $\alpha\in(0,2]$ and $\beta\in(0,2]$. When $d=1$ and $\alpha\ne1$, a functional limit theorem has been established in (Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 50 (1979) 5–25) and a local limit theorem in (Ann. Probab. To appear). In this paper, we establish the convergence in distribution and a local limit theorem when $\alpha=d$ (i.e. $\alpha=d=1$ or $\alpha=d=2$) and $\beta\in(0,2]$. Let us mention that functional limit theorems have been established in (Ann. Probab. 17 (1989) 108–115) and recently in (An asymptotic variance of the self-intersections of random walks. Preprint) in the particular case when $\beta=2$ (respectively for $\alpha=d=2$ and $\alpha=d=1$).

Les promenades aléatoires en paysage aléatoire sont des processus définis par $Z_{n}:=\sum_{k=1}^{n}\xi_{X_{1}+\cdots+X_{k}}$, où $(X_{k},k\geq1)$ et $(\xi_{y},y\in\mathbb{Z}^{d})$ sont deux suites indépendantes de variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans $\mathbb{Z}^{d}$ et $\mathbb{R}$ respectivement. Nous supposons que les lois de $X_{1}$ et $\xi_{0}$ appartiennent au domaine d’attraction normal de lois stables d’indice $\alpha\in(0,2]$ et $\beta\in(0,2]$. Quand $d=1$ et $\alpha\neq1$, un théorème limite fonctionnel a été prouvé dans (Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 50 (1979) 5–25) et un théorème limite local dans (Ann. Probab. To appear). Dans ce papier, nous prouvons la convergence en loi et un théorème limite local quand $\alpha=d$ (i.e. $\alpha=d=1$ ou $\alpha=d=2$) et $\beta\in(0,2]$. Mentionnons que des théorèmes limites fonctionnels ont été établis dans (Ann. Probab. 17 (1989) 108–115) et récemment dans (An asymptotic variance of the self-intersections of random walks. Preprint) dans le cas particulier où $\beta=2$ (respectivement pour $\alpha=d=2$ et $\alpha=d=1$).

Let $h$ be a three times partially differentiable function on $\mathbb{R}^{n}$, let $X=(X_{1},\ldots,X_{n})$ be a collection of real-valued random variables and let $Z=(Z_{1},\ldots,Z_{n})$ be a multivariate Gaussian vector. In this article, we develop Stein’s method to give error bounds on the difference $\mathbb{E}h(X)-\mathbb{E}h(Z)$ in cases where the coordinates of $X$ are not necessarily independent, focusing on the high dimensional case $n\to\infty$. In order to express the dependency structure we use Stein couplings, which allows for a broad range of applications, such as classic occupancy, local dependence, Curie–Weiss model, etc. We will also give applications to the Sherrington–Kirkpatrick model and last passage percolation on thin rectangles.

Soit $h$ une fonction réelle sur $\mathbb{R}^{n}$ dont les dérivées partielles d’ordre trois existent, soit $X=(X_{1},\ldots,X_{n})$ un vecteur de variables aléatoire réelles et soit $Z=(Z_{1},\ldots,Z_{n})$ un vecteur aléatoire Gaussien. Dans cet article, nous établissons par la méthode de Stein une majoration de la différence $\mathbb{E}h(X)-\mathbb{E}h(Z)$ dans le cas où les coordonnées de $X$ ne sont pas nécessairement indépendantes; nous nous concentrons sur le cas de la grande dimension $n\to\infty$. Pour exprimer la structure de dépendance, nous utilisons des couplages de Stein, ce qui permet une large gamme d’applications, par exemple aux modèles d’urnes, au modèles avec dépendance locale, au modèle de Curie–Weiss, etc. Nous présentons aussi des applications au modèle de Sherrington–Kirkpatrick et à la percolation de dernier passage dans des rectangles étroits.

It is well-known that a probability measure $\mu$ on the circle $\mathbb{T}$ satisfies $\|\mu^{n}*f-\int f\,\mathrm{d}m\|_{p}\to0$ for every $f\in L_{p}$, every (some) $p\in[1,\infty)$, if and only if $|\hat{\mu}(n)|<1$ for every non-zero $n\in\mathbb{Z}$ ($\mu$ is strictly aperiodic). In this paper we study the a.e. convergence of $\mu^{n}*f$ for every $f\in L_{p}$ whenever $p>1$. We prove a necessary and sufficient condition, in terms of the Fourier–Stieltjes coefficients of $\mu$, for the strong sweeping out property (existence of a Borel set $B$ with $\limsup\mu^{n}*1_{B}=1$ a.e. and $\liminf\mu^{n}*1_{B}=0$ a.e.). The results are extended to general compact Abelian groups $G$ with Haar measure $m$, and as a corollary we obtain the dichotomy: for $\mu$ strictly aperiodic, either $\mu^{n}*f\to\int f\,\mathrm{d}m$ a.e. for every $p>1$ and every $f\in L_{p}(G,m)$, or $\mu$ has the strong sweeping out property.

Il est connu qu’une mesure de probabilité $\mu$ sur le cercle $\mathbb{T}$ satisfait $\|\mu^{n}*f-\int f\,\mathrm{d}m\|_{p}\to0$ pour toute fonction $f\in L_{p}$ et pour tout $p\in[1,\infty)$ (ou pour un $p\in[1,\infty)$), si et seulement si $\mu$ est strictement apériodique (i.e. $|\hat{\mu}(n)|<1$ pour tout $n$ non nul dans $\mathbb{Z}$). Nous étudions ici la convergence presque partout de $\mu^{n}*f$ pour $f\in L_{p}$, $p>1$. Nous montrons une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients de Fourier–Stieltjes de $\mu$ pour la propriété de “balayage fort” (existence d’un borélien $B$ tel que $\limsup\mu^{n}*1_{B}=1$ p.p. et $\liminf\mu^{n}*1_{B}=0$ p.p.). Les résultats sont étendus aux groupes abéliens compacts généraux $G$ de mesure de Haar $m$. Comme corollaire nous obtenons la dichotomie suivante : pour $\mu$ strictement apériodique, soit $\mu^{n}*f\to\int f\,\mathrm{d}m$ p.p. pour tout $p>1$ et toute fonction $f\in L_{p}(G,m)$, soit $\mu$ vérifie la propriété de balayage fort.

In this paper, we consider a multidimensional convolution model for which we provide adaptive anisotropic kernel estimators of a signal density $f$ measured with additive error. For this, we generalize Fan’s (Ann. Statist. 19(3) (1991) 1257–1272) estimators to multidimensional setting and use a bandwidth selection device in the spirit of Goldenshluger and Lepski’s (Ann. Statist. 39(3) (2011) 1608–1632) proposal for density estimation without noise. We consider first the pointwise setting and then, we study the integrated risk. Our estimators depend on an automatically selected random bandwidth. We assume both ordinary and super smooth components for measurement errors, which have known density. We also consider both anisotropic Hölder and Sobolev classes for $f$. We provide nonasymptotic risk bounds and asymptotic rates for the resulting data driven estimator, together with lower bounds in most cases. We provide an illustrative simulation study, involving the use of Fast Fourier Transform algorithms. We conclude by a proposal of extension of the method to the case of unknown noise density, when a preliminary pure noise sample is available.

Dans ce travail, nous considérons un modèle de convolution multidimensionnel, pour lequel nous proposons des estimateurs à noyau anisotropes pour reconstruire la densité $f$ d’un signal mesuré avec un bruit additif. Pour ce faire, nous généralisons les estimateurs de Fan (Ann. Statist. 19(3) (1991) 1257–1272) à un contexte multidimensionnel et nous appliquons une méthode de sélection de fenêtre dans l’esprit des idées récentes développées par Goldenshluger et Lepski (Ann. Statist. 39(3) (2011) 1608–1632) pour l’estimation de densité en l’absence de bruit. Nous considérons tout d’abord le problème de l’estimation ponctuelle, et nous étudions ensuite le risque global intégré. Nos estimateurs dépendent d’une fenêtre aléatoire sélectionnée de façon automatique. Nous considérons les cas où les composantes du bruit, supposées connues, peuvent être ordinairement ou super régulières. De plus, nous étudions des classes de fonctions $f$ à estimer aussi bien dans des espaces de Hölder anisotropes que dans des espaces de Sobolev. Nous prouvons des bornes de risque non asymptotiques ainsi que des vitesses de convergence asymptotiques pour nos estimateurs adaptatifs, en même temps que des bornes inférieures dans un grand nombre de cas. Des simulations illustrent la méthode en s’appuyant sur des algorithmes de transformation de Fourier rapide. En conclusion, nous proposons une extension de la méthode lorsque la loi du bruit n’est plus connue, mais remplacée par un échantillon préliminaire où le bruit seul est observé.