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November 2012 Invariance of Poisson measures under random transformations
Nicolas Privault
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 48(4): 947-972 (November 2012). DOI: 10.1214/11-AIHP422

Abstract

We prove that Poisson measures are invariant under (random) intensity preserving transformations whose finite difference gradient satisfies a cyclic vanishing condition. The proof relies on moment identities of independent interest for adapted and anticipating Poisson stochastic integrals, and is inspired by the method of Üstünel and Zakai (Probab. Theory Related Fields 103 (1995) 409–429) on the Wiener space, although the corresponding algebra is more complex than in the Wiener case. The examples of application include transformations conditioned by random sets such as the convex hull of a Poisson random measure.

Nous montrons que les mesures de Poisson sont invariantes par les transformations aléatoires qui préservent les mesures d’intensité, et dont le gradient aux différences finies satisfait une condition d’annulation cyclique. La preuve de ce résultat repose sur des identités de moments d’intérêt indépendant pour les intégrales stochastiques de Poisson adaptées et anticipantes, et est inspirée par la méthode de Üstünel et Zakai (Probab. Theory Related Fields 103 (1995) 409–429) sur l’espace de Wiener, bien que l’algèbre correspondante soit plus compliquée que dans le cas Wiener. Les exemples d’application incluent des transformations conditionnées par des ensembles aléatoires tels que l’enveloppe convexe d’une mesure aléatoire de Poisson.

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Nicolas Privault. "Invariance of Poisson measures under random transformations." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 48 (4) 947 - 972, November 2012. https://doi.org/10.1214/11-AIHP422

Information

Published: November 2012
First available in Project Euclid: 16 November 2012

zbMATH: 1278.60084
MathSciNet: MR3052400
Digital Object Identifier: 10.1214/11-AIHP422

Subjects:
Primary: 28C20 , 28D05 , 37A05 , 60G30 , 60G55 , 60G57 , 60H07

Keywords: Invariance , Moment identities , Poisson measures , Random transformations , Skorohod integral

Rights: Copyright © 2012 Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
26 PAGES


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Vol.48 • No. 4 • November 2012
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