Open Access
Translator Disclaimer
November 2012 Collisions of random walks
Martin T. Barlow, Yuval Peres, Perla Sousi
Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 48(4): 922-946 (November 2012). DOI: 10.1214/12-AIHP481

Abstract

A recurrent graph $G$ has the infinite collision property if two independent random walks on $G$, started at the same point, collide infinitely often a.s. We give a simple criterion in terms of Green functions for a graph to have this property, and use it to prove that a critical Galton–Watson tree with finite variance conditioned to survive, the incipient infinite cluster in $\mathbb{Z}^{d}$ with $d\ge19$ and the uniform spanning tree in $\mathbb{Z}^{2}$ all have the infinite collision property. For power-law combs and spherically symmetric trees, we determine precisely the phase boundary for the infinite collision property.

Un graphe récurrent $G$ a la propriété de collisions infinies si deux marches aléatoires indépendantes dans $G$, issues du même état, se rencontrent infiniment souvent presque sûrement. Nous donnons un critère simple à l’aide de fonctions de Green qui implique cette propriété, et nous l’utilisons pour prouver que la propriété de collisions infinies a lieu dans les cas suivants: un arbre de Galton–Watson critique avec variance finie conditionné à survivre, l’amas de percolation critique conditionné à être infini dans ${\mathbb{Z}}^{d}$ avec $d\geq19$ et l’arbre couvrant uniforme dans ${\mathbb{Z}}^{2}$. Pour le graphe en forme de peigne aléatoire avec queues polynomiales et les arbres à symétrie sphérique, nous déterminons précisément la région critique dans l’espace des phases pour les collisions infinies.

Citation

Download Citation

Martin T. Barlow. Yuval Peres. Perla Sousi. "Collisions of random walks." Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 48 (4) 922 - 946, November 2012. https://doi.org/10.1214/12-AIHP481

Information

Published: November 2012
First available in Project Euclid: 16 November 2012

zbMATH: 1285.60073
MathSciNet: MR3052399
Digital Object Identifier: 10.1214/12-AIHP481

Subjects:
Primary: 60J10 , 60J35
Secondary: 05C81 , 60J80

Keywords: branching processes , Collisions , Random walks , Transition probability

Rights: Copyright © 2012 Institut Henri Poincaré

JOURNAL ARTICLE
25 PAGES


SHARE
Vol.48 • No. 4 • November 2012
Back to Top