We prove an almost isometric reverse Hölder inequality for the Euclidean norm on an isotropic generalized Orlicz ball which interpolates Paouris concentration inequality and variance conjecture. We study in this direction the case of isotropic convex bodies with an unconditional basis and the case of general convex bodies.

Nous prouvons une inégalité inverse Hölder presque isométrique pour la norme euclidienne sur une boule d’Orlicz généralisée isotrope qui interpole l’inégalité de concentration de Paouris et la conjecture de la variance. Nous étudions dans ce sens le cas des corps convexes isotropes à base inconditionnelle et celui des corps convexes généraux.

Let K be a compact, non-polar set in ℝ^m, m≥3 and let S_Kⁱ(t)={Bⁱ(s)+y: 0≤s≤t, y∈K} be Wiener sausages associated to independent Brownian motions Bⁱ, i=1, 2, 3 starting at 0. The expectation of volume of ⋂_i=1³S_Kⁱ(t) with respect to product measure is obtained in terms of the equilibrium measure of K in the limit of large t.

Soit K un ensemble compact, non-polaire dans ℝ^m (m≥3) et soit S_Kⁱ(t)={Bⁱ(s)+y: 0≤s≤t, y∈K} des saucisses de Wiener associées à des processus Browniens indépendants Bⁱ, i=1, 2, 3 initalisés à 0. L’espérance des volumes de ⋂_i=1³S_Kⁱ(t) par rapport à la mesure produit est obtenue en termes de la mesure d’équilibre de K lorsque t tend vers l’infini.

The stable fragmentation with index of self-similarity α∈[−1/2, 0) is derived by looking at the masses of the subtrees formed by discarding the parts of a (1+α)⁻¹–stable continuum random tree below height t, for t≥0. We give a detailed limiting description of the distribution of such a fragmentation, (F(t), t≥0), as it approaches its time of extinction, ζ. In particular, we show that t^1/αF((ζ−t)⁺) converges in distribution as t→0 to a non-trivial limit. In order to prove this, we go further and describe the limiting behavior of (a) an excursion of the stable height process (conditioned to have length 1) as it approaches its maximum; (b) the collection of open intervals where the excursion is above a certain level; and (c) the ranked sequence of lengths of these intervals. Our principal tool is excursion theory. We also consider the last fragment to disappear and show that, with the same time and space scalings, it has a limiting distribution given in terms of a certain size-biased version of the law of ζ.

In addition, we prove that the logarithms of the sizes of the largest fragment and last fragment to disappear, at time (ζ−t)⁺, rescaled by log(t), converge almost surely to the constant −1/α as t→0.

La fragmentation stable d’incice α∈[−1/2, 0) est construite à partir des masses des sous-arbres de l’arbre continu aléatoire stable d’indice (1+α)⁻¹ obtenus en ne gardant que les feuilles situées à une hauteur supérieure à t, pour t≥0. Nous donnons une description détaillée du comportement asymptotique d’une telle fragmentation, (F(t), t≥0), au voisinage de son point d’extinction, ζ. En particulier, nous montrons que t^1/αF((ζ−t)⁺) converge en loi lorsque t→0 vers une limite non triviale. Pour obtenir ce résultat, nous allons plus loin et décrivons le comportement asymptotique en loi, après normalisation, (a) d’une excursion du processus de hauteur stable (conditionnée à avoir une longueur 1) au voisinage de son maximum; (b) des intervalles ouverts où l’excursion est au-dessus d’un certain niveau; et (c) de la suite décroissante des longueurs de ces intervalles. Notre outil principal est la théorie des excursions. Nous nous intéressons également au dernier fragment à disparaître et montrons, qu’avec les mêmes normalisations en temps et espace, la masse de ce fragment a une distribution limite construite à partir d’une certaine version biaisée de ζ.

Enfin, nous montrons que les logarithmes des masses du plus gros fragment et du dernier fragment à disparaître, au temps (ζ−t)⁺, divisés par log(t), convergent presque sûrement vers la constante −1/α lorsque t→0.

We consider multi-dimensional Gaussian processes and give a new condition on the covariance, simple and sharp, for the existence of Lévy area(s). Gaussian rough paths are constructed with a variety of weak and strong approximation results. Together with a new RKHS embedding, we obtain a powerful – yet conceptually simple – framework in which to analyze differential equations driven by Gaussian signals in the rough paths sense.

Nous donnons une condition simple et optimale sur la covariance d’un processus gaussien pour que celui-ci puisse être associé naturellement à un rough path. Une fois ce processus construit, nous démontrons un principe de grandes déviations, un théorème du support, et plusieurs résultats d’approximations. Avec la théorie des rough paths de T. Lyons, nous obtenons ainsi un cadre puissant, bien que conceptuellement simple, dans lequel nous pouvons analyser les équations différentielles conduites par des signaux gaussiens dans le sens des rough paths.

We study a random walk pinning model, where conditioned on a simple random walk Y on ℤ^d acting as a random medium, the path measure of a second independent simple random walk X up to time t is Gibbs transformed with Hamiltonian −L_t(X, Y), where L_t(X, Y) is the collision local time between X and Y up to time t. This model arises naturally in various contexts, including the study of the parabolic Anderson model with moving catalysts, the parabolic Anderson model with Brownian noise, and the directed polymer model. It falls in the same framework as the pinning and copolymer models, and exhibits a localization-delocalization transition as the inverse temperature β varies. We show that in dimensions d=1, 2, the annealed and quenched critical values of β are both 0, while in dimensions d≥4, the quenched critical value of β is strictly larger than the annealed critical value (which is positive). This implies the existence of certain intermediate regimes for the parabolic Anderson model with Brownian noise and the directed polymer model. For d≥5, the same result has recently been established by Birkner, Greven and den Hollander [Quenched LDP for words in a letter sequence (2008)] via a quenched large deviation principle. Our proof is based on a fractional moment method used recently by Derrida et al. [Comm. Math. Phys. 287 (2009) 867–887] to establish the non-coincidence of annealed and quenched critical points for the pinning model in the disorder-relevant regime. The critical case d=3 remains open.

Nous considérons le modèle de marche aléatoire avec pinning suivant : étant donné une marche aléatoire simple Y sur ℤ^d qui sert d’environnement aléatoire, on se donne une mesure de Gibbs sur les trajectoires d’une marche aléatoire X jusqu’au temps t de Hamiltonien −L_t(X, Y) où L_t(X, Y) est le temps local d’intersection entre X et Y jusqu’au temps t. Ce modèle apparaît naturellement dans des contextes variés tels que l’étude du modèle parabolique d’Anderson avec catalyseurs mouvants, l’étude du modèle parabolique d’Anderson avec bruit Brownien ainsi que dans le cadre de l’étude de polymères dirigés. Ce modèle appartient à la même classe que les modèles de pinning et copolymères et présente une transition localisation / délocalisation quand la température inverse β varie. Nous montrons qu’en dimension d=1, 2 les valeurs critiques annealed et quenched de β sont toutes deux 0 mais que en dimension d≥4 la valeur critique quenched de β est strictement supérieure à la valeur annealed (qui est positive). Ceci entraine l’existence de certains régimes intermédiaires pour le modèle parabolique de Anderson avec bruit Brownien et pour les polymères dirigés. Pour d≥5 des résultats similaires ont été récemment établis par Birkner, Greven et den Hollander [Quenched LDP for words in a letter sequence (2008)] via un principe de grandes déviations quenched. Notre preuve se fonde sur la méthode des moments fractionnaires utilisée récemment par Derrida, Giacomin, Lacoin et Toninelli [Comm. Math. Phys. 287 (2009) 867–887] pour établir la non-coïncidence des valeurs critiques quenched et annealed du modèle de pinning dans le régime lié au désordre. Le cas de la dimension critique d=3 reste ouvert.

Let Ψ_n be a product of n independent, identically distributed random matrices M, with the properties that Ψ_n is bounded in n, and that M has a deterministic (constant) invariant vector. Assume that the probability of M having only the simple eigenvalue 1 on the unit circle does not vanish. We show that Ψ_n is the sum of a fluctuating and a decaying process. The latter converges to zero almost surely, exponentially fast as n→∞. The fluctuating part converges in Cesaro mean to a limit that is characterized explicitly by the deterministic invariant vector and the spectral data of $\mathbb{E}[M]$ associated to 1. No additional assumptions are made on the matrices M; they may have complex entries and not be invertible.

We apply our general results to two classes of dynamical systems: inhomogeneous Markov chains with random transition matrices (stochastic matrices), and random repeated interaction quantum systems. In both cases, we prove ergodic theorems for the dynamics, and we obtain the limit states.

On considère le produit Ψ_n de n matrices aléatoires M i.i.d. ayant les propriétés suivantes: la suite (Ψ_n)_n est bornée et M possède un vecteur invariant déterministe (constant). On suppose que la probabilité pour que, sur le cercle unité, M possède une unique valeur propre simple en 1 soit non nulle. On montre que Ψ_n est la somme d’un processus fluctuant et d’un processus décroissant. Ce dernier tend vers zéro presque sûrement et exponentiellement rapidement lorsque n tend vers l’infini. Le terme fluctuant converge en moyenne de Cesaro vers une limite caractérisée explicitement par le vecteur invariant déterministe et par les données spectrales associées à la valeur propre 1 de la matrice $\mathbb{E}[M]$. Aucune hypothèse supplémentaire n’est faite sur les matrices M; elles peuvent être à valeurs complexes et pas nécessairement inversibles.

On applique les résultats généraux à deux classes de systèmes dynamiques: les chaînes de Markov inhomogènes avec matrices de transition aléatoires (matrices stochastiques), ainsi que les systèmes quantiques avec interactions répétées et aléatoires. Dans les deux cas, on prouve des résultats d’ergodicité pour la dynamique et on détermine les états limites.

For stochastic differential equations of pure jumps, though the Poincaré inequality does not hold in general, we show that W₁H transportation inequalities hold for its invariant probability measure and for its process-level law on right continuous paths space in the L¹-metric or in uniform metrics, under the dissipative condition. Several applications to concentration inequalities are given.

Pour une équation différentielle stochastique de pur saut, bien que l’inégalité de Poincaré ne soit pas valide en général, nous pouvons quand même établir, sous la condition de dissipativité, des inégalités de transport W₁H pour sa mesure invariante et pour sa loi (au niveau de processus) sur l’espace des trajectoires càdlàg, muni de la métrique L¹ ou d’une métrique uniforme. Quelques applications aux inégalités de concentration sont présentées.

We consider the problem of estimating the conditional mean of a real Gaussian variable Y=∑_i=1^pθ_iX_i+ɛ where the vector of the covariates (X_i)_1≤i≤p follows a joint Gaussian distribution. This issue often occurs when one aims at estimating the graph or the distribution of a Gaussian graphical model. We introduce a general model selection procedure which is based on the minimization of a penalized least squares type criterion. It handles a variety of problems such as ordered and complete variable selection, allows to incorporate some prior knowledge on the model and applies when the number of covariates p is larger than the number of observations n. Moreover, it is shown to achieve a non-asymptotic oracle inequality independently of the correlation structure of the covariates. We also exhibit various minimax rates of estimation in the considered framework and hence derive adaptivity properties of our procedure.

Nous nous intéressons à l’estimation de l’espérance conditionelle d’une variable Gaussienne. Ce problème est courant lorsque l’on veut estimer le graphe ou la distribution d’un modèle graphique gaussien. Dans cet article, nous introduisons une procédure de sélection de modèle basée sur la minimisation d’un critére des moindres carrés pénalisés. Cette méthode générale permet de traiter un grand nombre de problèmes comme la sélection ordonnée ou la sélection complête de variables. De plus, elle reste valable dans un cadre de « grande dimension »: lorsque le nombre de covariables est bien plus élevé que le nombre d’observations. L’estimateur obtenue vérifie une inégalité oracle non-asymptotique et ce quelque soit la corrélation entre les covariables. Nous calculons également des vitesses minimax d’estimation dans ce cadre et montrons que notre procédure vérifie diverses propriétés d’adaptation.

We consider a one-dimensional recurrent random walk in random environment (RWRE). We show that the – suitably centered – empirical distributions of the RWRE converge weakly to a certain limit law which describes the stationary distribution of a random walk in an infinite valley. The construction of the infinite valley goes back to Golosov, see Comm. Math. Phys. 92 (1984) 491–506. As a consequence, we show weak convergence for both the maximal local time and the self-intersection local time of the RWRE and also determine the exact constant in the almost sure upper limit of the maximal local time.

Nous prouvons que les mesures empiriques d’une marche aléatoire unidimensionnelle en environnement aléatoire convergent étroitement vers la loi stationnaire d’une marche aléatoire dans une vallée infinie. La construction de cette vallée infinie revient à Golosov, voir Comm. Math. Phys. 92 (1984) 491–506. En applications, nous obtenons la convergence étroite du maximum des temps locaux et du temps local d’intersections de la marche aléatoire en environnement aléatoire; de plus, nous identifions la constante représentant la “limsup” presque sûre du maximum des temps locaux.

The Brownian web (BW), which developed from the work of Arratia and then Tóth and Werner, is a random collection of paths (with specified starting points) in one plus one dimensional space–time that arises as the scaling limit of the discrete web (DW) of coalescing simple random walks. Two recently introduced extensions of the BW, the Brownian net (BN) constructed by Sun and Swart, and the dynamical Brownian web (DyBW) proposed by Howitt and Warren, are (or should be) scaling limits of corresponding discrete extensions of the DW – the discrete net (DN) and the dynamical discrete web (DyDW). These discrete extensions have a natural geometric structure in which the underlying Bernoulli left or right “arrow” structure of the DW is extended by means of branching (i.e., allowing left and right simultaneously) to construct the DN or by means of switching (i.e., from left to right and vice-versa) to construct the DyDW. In this paper we show that there is a similar structure in the continuum where arrow direction is replaced by the left or right parity of the (1, 2) space–time points of the BW (points with one incoming path from the past and two outgoing paths to the future, only one of which is a continuation of the incoming path). We then provide a complete construction of the DyBW and an alternate construction of the BN to that of Sun and Swart by proving that the switching or branching can be implemented by a Poissonian marking of the (1, 2) points.

Le réseau Brownien (BW) construit à partir des travaux de Arratia, de Tòth et de Werner est une collection aléatoire de chemins (avec des points de depart determinés) dans un espace deux-dimensionnel (une dimension en temps et une autre en espace), qui est la limite d’échelle d’un réseau discret (DW) de marches aléatoires coalescentes. Récemment, deux extensions du BW ont été introduites: le filet Brownien (BN), construit par Sun et Swart, et le réseau Brownien dynamique (DyBW), proposé par Howitt et Warren. Ces deux objets sont (ou devraient être) la limite d’échelle de deux extensions naturelles du réseau discret – le filet discret (DN) et le réseau dynamique discret (DyDW). Le DN et le DyDW sont obtenus par une modification de la configuration des “flèches” droites ou gauches qui composent le réseau discret. Pour le DN, un mécanisme de ramification est introduit (en permettant des flèches droites et gauches simultanément) alors que pour le DyDW, la direction des flèches est modifiée (de droite à gauche et vice-versa). Dans cet article, nous montrons qu’il existe une structure géométrique analogue dans le cas continu. Plus précisément, la direction des flèches dans le cas discret est remplacée par la direction des points (1, 2) du réseau Brownien (en un point (1, 2) se trouvent un chemin entrant et deux chemins sortants, l’un d’eux étant la continuation du chemin entrant). Nous montrons que les ramifications et changements de direction peuvent être introduits dans le cas continu par un marquage de type Poisson des points (1, 2). Par l’intermédiaire de ce marquage, nous donnons une construction complète du DyBW et une construction alternative à celle de Sun et Swart du BN.

This is a continuation of the earlier work (Publ. Res. Inst. Math. Sci. 45 (2009) 745–785) to characterize unitary stationary independent increment Gaussian processes. The earlier assumption of uniform continuity is replaced by weak continuity and with technical assumptions on the domain of the generator, unitary equivalence of the process to the solution of an appropriate Hudson–Parthasarathy equation is proved.

Cet article poursuit la recherche initiée dans (Publ. Res. Inst. Math. Sci. 45 (2009) 745–785) pour caractériser les processus stationnaires unitaires gaussiens à incréments indépendants. L’hypothèse antérieure d’uniforme continuité est remplacée par de la continuité faible. Avec des conditions techniques sur le domaine du générateur, nous montrons que le processus est équivalent unitairement à la solution d’une équation de Hudson–Parthasarathy appropriée.