Further properties of linear prediction sufficiency and the BLUPs in the linear model with new observations

Abstract

A linear statistic $\mathrm{Fy}$ is called linearly sufficient for the estimable parametric function of $\mathrm X_{*} \beta$ under the linear model $\mathscr M = \{ \mathrm y, \mathrm X \beta, \mathrm V \}$ if there exists a matrix $\mathrm A$ such that $\mathrm {AFy}$ is the best linear unbiased estimator, BLUE, for $\mathrm X_{*} \beta$. The concept of linear sufficiency with respect to a predictable random vector is defined in the corresponding way but considering best linear unbiased predictor, BLUP, instead of BLUE. In this paper, we consider the linear sufficiency of $\mathrm{Fy}$ with respect to $\mathrm{y}_{*}$, $\mathrm X_{*} \beta$, and $\varepsilon_{*}$, when the random vector $\mathrm{y}_{*}$ comes from $\mathrm{y}_{*} = \mathrm X_{*} \beta + \varepsilon_{*}$, and the prediction is based on the linear model $\mathscr M$. Our main results concern the mutual relations of these sufficiencies. In addition, we give an extensive review of some interesting properties of the covariance matrices of the BLUPs of $\varepsilon_{*}$. We also apply our results into the linear mixed model.

Une statistique linéaire $\mathrm{Fy}$ est dite linéairement suffisante pour la fonction paramétrique estimable de $\mathrm X_{*} \beta$ sous le modèle linéaire $\mathscr M = \{ \mathrm y, \mathrm X \beta, \mathrm V \}$ s'il existe une matrice $\mathrm A$ telle que $\mathrm {AFy}$ soit le meilleur estimateur linéaire sans biais, BLUE, pour $\mathrm X_{*} \beta$. Le concept de suffisance linéaire par rapport à un vecteur aléatoire prévisible est défini de manière similaire mais en considérant le meilleur prédicteur linéaire sans biais, BLUP, au lieu du BLUE. Dans cet article, nous considérons la suffisance linéaire de $\mathrm{Fy}$ par rapport à $\mathrm{y}_{*}$ , $\mathrm X_{*} \beta$ et $\varepsilon_{*}$, lorsque le vecteur aléatoire $\mathrm{y}_{*}$ provient de $\mathrm{y}_{*} = \mathrm X_{*} \beta + \varepsilon_{*}$, et la prédiction est basée sur le modèle linéaire $\mathscr M$. Nos principaux résultats concernent les relations mutuelles de ces suffisances. En outre, nous donnons un examen approfondi de certaines propriétés intéressantes des matrices de covariance des BLUP des $\varepsilon_{*}$. Nous appliquons également nos résultats dans le modèle mixte linéaire.