Nagoya Mathematical Journal

Sur l'incomplétude de la série linéaire caractéristique d'une famille de courbes planes à nœuds et à cusps

Sébastien Guffroy

Full-text: Open access

Abstract

Since J.Wahl ([27]), it is known that degree $d$ plane curves having some fixed numbers of nodes and cusps as its only singularities can be represented by a scheme, let say $H$, which can be singular. In Wahl's example, $H$ is singular along a subscheme $F$ but the induced reduced scheme $H_{\rm{red}}$ is smooth along $F$. In this work, we construct explicitly a family of plane curves with nodes and cusps which are represented by singular points of $H_{\rm{red}}$.

To this end, we begin to show that the Hilbert scheme of smooth and connected space curves of degree 12 and genus 15 is irreducible and generically smooth. It follows that it is singular along a hypersurface (3.10). This example is minimal in the sense that the Hilbert scheme of smooth and connected space curves is regular in codimension 1 for $d<2$ % (B.2). Finally we construct our plane curves from the space curves represented by points of this hypersurface (4.7).

Résumé

On sait depuis J.Wahl ([27]) que les courbes planes de degré fixé ayant pour seules singularités des nœuds et des cusps en nombres imposés sont représenté es par un schéma $H$ qui peut ètre singulier. Wahl exhibe une famille de courbes comme ci-dessus dont les points correspondants sont singuliers dans $H$ mais lisses dans $H_{\rm{red}}$, la structure réduite sous-jacente. Ici, on construit explicitement une famille de courbes planes à nœuds et à cusps représenté par des points singuliers de $H_{\rm{red}}$.

Pour ce faire, on montre tout d'abord que le schéma de Hilbert des courbes lisses et connexes de degré 12 et de genre 15 de l'espace projectif complexe est irréductible et génériquement lisse; puis qu'il est singulier le long d'une hypersurface (3.10). Cet exemple est minimal dans le sens où le schéma de Hilbert des courbes lisses et connexes de degré $d$ et genre $g$ est lisse en codimension 1 pour $d<12$ (B.2). Enfin, on construit les courbes planes à partir des courbes gauches représentés par cette hypersurface (4.7).

Article information

Source
Nagoya Math. J., Volume 171 (2003), 51-83.

Dates
First available in Project Euclid: 27 April 2005

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https://projecteuclid.org/euclid.nmj/1114631910

Mathematical Reviews number (MathSciNet)
MR2002013

Zentralblatt MATH identifier
1085.14501

Subjects
Primary: 14H50: Plane and space curves
Secondary: 14B07: Deformations of singularities [See also 14D15, 32S30] 14C05: Parametrization (Chow and Hilbert schemes)

Citation

Guffroy, Sébastien. Sur l'incomplétude de la série linéaire caractéristique d'une famille de courbes planes à nœuds et à cusps. Nagoya Math. J. 171 (2003), 51--83. https://projecteuclid.org/euclid.nmj/1114631910


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References

  • E. Arbarello, M. Cornalba, P. Griffiths et J. Harris, Geometry of Algebraic Curves, tome 1 de Grundlehren der math. Wissen. 267, Springer–Verlag (1984).
  • C. B$\breve{\text{a}}$nic$\breve{\text{a}}$ et O. Forster, Multiplicity structures on space curves , Contemp. Math., 58 (1986), 47–64.
  • G. Bolondi, Irreducible families of curves with fixed cohomology , Arch. Math., 53 (1989), 300–305.
  • J. d'Almeida, Courbes de l'espace projectif : Séries linéaires incomplètes et multisécantes , J. für Reine und Angew. Math., 370 (1986), 30–51.
  • M. Demazure, Surfaces de Del Pezzo, LNM 777, Springer–Verlag (1980).
  • A. Dolcetti et G. Pareschi, On linearly normal space curves , Math. Z., 198 (1988), 73–82.
  • L. Ein, Hilbert scheme of smooth space curves , Ann. scient. Ec. Norm. Sup., 19 (1986(4)), 469–478.
  • P. Ellia, Double structure and normal bundle of space curves , J. London Math. Soc., 58 (1998(2)), 18–26.
  • P. Ellia et M. Fiorentini, Défaut de postulation et singularités du schéma de Hilbert , Ann. Univ. Ferrara - Sez. VII - Sc. Mat., 30 (1984), 185–198.
  • G. Ellingsrud, Sur les variétés de codimension 2 dans $\P^e$ à cône projetant de Cohen–Macaulay , Ann. scient. Ec. Norm. Sup., 58 (1975(2)), 18–26.
  • G. Greuel et U. Karras, Families of varieties with prescribed singularities. , Compo. Math., 69 (1989), 83–110.
  • A. Grothendieck, Schéma de Picard, Séminaire Bourbaki. fascicules 2 et 3 (1962).
  • L. Gruson et C. Peskine, Genre des courbes de l'espace projectif(II) , Ann. scient. Ec. Norm. Sup., 15 (1983), 401–418.
  • B. Harbourne, Complete linear systems on rational surfaces , Trans. A.M.S., 289 (1985), 213–226.
  • R. Hartshorne, Algebraic Geometry, GTM 52, Springer–Verlag (1977).
  • ––––, Families of Curves in $\P^3$ and Zeuthen's Problem, Memoirs of the A.M.S. No 617 (1997).
  • I. Luengo, On the existence of complete families of projective plane curves, which are obstructed , J. London Math. Soc., 36 (1987(2)), 33–43.
  • M. Martin-Deschamps et D. Perrin, Sur la classification des courbes gauches, Astérisque 184–185. Publ. S.M.F (1990).
  • ––––, Sur les bornes du module de Rao , C.R. Acad. Sci. Paris, 137 (1993), 1159–1162.
  • ––––, Le schéma de Hilbert des courbes gauches localement Cohen–Macaulay n'est (presque) jamais réduit , Ann. scient. Ec. Norm. Sup., 29 (1996), 757–785.
  • D. R. Morrison, The birational geometry of surfaces with rational double points , Math. Ann., 271 (1985), 415–438.
  • D. Mumford, Further Pathologies in Algebraic Geometry , Am. J. Math., 84 (1962).
  • ––––, Lectures on curves on an algebraic surface, Ann. Maths. Studies 59, Princeton University Press (1966).
  • S. Nollet, Subextremal curves , Manuscripta Math., 94 (1997), 303–317.
  • C. Okonek, M. Schneider et H. Spindler, Vector bundles on complex projective spaces, Progress in math., Birkhauser, 1980.
  • E. Schlesinger, A speciality theorem for Cohen–Macaulay space curves , Trans. of A.M.S., 351 (1999(7)), 2731–2743.
  • J. Semple et L. Roth, Introduction to Algebraic Geometry, Oxford Univ. Press (1949).
  • E. Sernesi, Un esempio di curva obstruita in $\P^3$ , Seminario di variabili complesse, Bologna (1981), CNR, Università degli Studi di Bologna, (1982).
  • F. Severi, Vorlesungen über algebraische Geometrie , Teubner, (1921).
  • J. Wahl, Deformations of plane curves with nodes and cusps , Amer. J. Math., 96 (1974(4)), 529–577.
  • C. Walter, Some examples of obstructed curves in $\P^3$ , London Math. Soc. LNS, 179 (1992), 325–340.
  • O. Zariski, Algebraic surfaces, Classics in Mathematics, Springer–Verlag (1995).