Sur l'incomplétude de la série linéaire caractéristique d'une famille de courbes planes à nœuds et à cusps

Abstract

Since J.Wahl ([27]), it is known that degree $d$ plane curves having some fixed numbers of nodes and cusps as its only singularities can be represented by a scheme, let say $H$, which can be singular. In Wahl's example, $H$ is singular along a subscheme $F$ but the induced reduced scheme $H_{\rm{red}}$ is smooth along $F$. In this work, we construct explicitly a family of plane curves with nodes and cusps which are represented by singular points of $H_{\rm{red}}$.

To this end, we begin to show that the Hilbert scheme of smooth and connected space curves of degree 12 and genus 15 is irreducible and generically smooth. It follows that it is singular along a hypersurface (3.10). This example is minimal in the sense that the Hilbert scheme of smooth and connected space curves is regular in codimension 1 for $d<2$ % (B.2). Finally we construct our plane curves from the space curves represented by points of this hypersurface (4.7).

On sait depuis J.Wahl ([27]) que les courbes planes de degré fixé ayant pour seules singularités des nœuds et des cusps en nombres imposés sont représenté es par un schéma $H$ qui peut ètre singulier. Wahl exhibe une famille de courbes comme ci-dessus dont les points correspondants sont singuliers dans $H$ mais lisses dans $H_{\rm{red}}$, la structure réduite sous-jacente. Ici, on construit explicitement une famille de courbes planes à nœuds et à cusps représenté par des points singuliers de $H_{\rm{red}}$.

Pour ce faire, on montre tout d'abord que le schéma de Hilbert des courbes lisses et connexes de degré 12 et de genre 15 de l'espace projectif complexe est irréductible et génériquement lisse; puis qu'il est singulier le long d'une hypersurface (3.10). Cet exemple est minimal dans le sens où le schéma de Hilbert des courbes lisses et connexes de degré $d$ et genre $g$ est lisse en codimension 1 pour $d<12$ (B.2). Enfin, on construit les courbes planes à partir des courbes gauches représentés par cette hypersurface (4.7).