Exponentially slow mixing in the mean-field Swendsen–Wang dynamics

Abstract

Swendsen–Wang dynamics for the Potts model was proposed in the late 1980’s as an alternative to single-site heat-bath dynamics, in which global updates allow this MCMC sampler to switch between metastable states and ideally mix faster. Gore and Jerrum (J. Stat. Phys. 97 (1999) 67–86) found that this dynamics may in fact exhibit slow mixing: they showed that, for the Potts model with $q\geq 3$ colors on the complete graph on $n$ vertices at the critical point $\beta_{c}(q)$, Swendsen–Wang dynamics has $t_{\mathrm{mix}}\geq \exp (c\sqrt{n})$. Galanis et al. (In Proc. of the 19th International Workshop on Randomization and Computation (RANDOM 2015) (2015) 815–828) showed that $t_{\mathrm{mix}}\geq \exp (cn^{1/3})$ throughout the critical window $(\beta_{s},\beta_{S})$ around $\beta_{c}$, and Blanca and Sinclair (In Proc. of the 19th International Workshop on Randomization and Computation (RANDOM 2015) (2015) 528–543) established that $t_{\mathrm{mix}}\geq \exp (c\sqrt{n})$ in the critical window for the corresponding mean-field FK model, which implied the same bound for Swendsen–Wang via known comparison estimates. In both cases, an upper bound of $t_{\mathrm{mix}}\leq \exp (c'n)$ was known. Here we show that the mixing time is truly exponential in $n$: namely, $t_{\mathrm{mix}}\geq \exp (cn)$ for Swendsen–Wang dynamics when $q\geq 3$ and $\beta \in (\beta_{s},\beta_{S})$, and the same bound holds for the related MCMC samplers for the mean-field FK model when $q>2$.

La dynamique de Swendsen–Wang a été proposée à la fin des années 1980 comme une alternative à la dynamique du bain-de-chaleur à un site, dans laquelle des mises à jour globales permettent à cet algorithme MCMC de passer plus vite d’un état métastable à un état de mélange idéal. Gore et Jerrum (J. Stat. Phys. 97 (1999) 67–86) ont trouvé que cette dynamique peut en fait montrer un mélange lent: ils ont montré, pour le modèle de Potts à $q\geq 3$ couleurs sur le graphe complet sur $n$ sommets au point critique $\beta_{c}(q)$, que la dynamique de Swendsen–Wang vérifie $t_{\mathrm{mix}}\geq \exp(c\sqrt{n})$. Galanis et al. (In Proc. of the 19th International Workshop on Randomization and Computation (RANDOM 2015) (2015) 815–828) a montré que $t_{\mathrm{mix}}\geq \exp(cn^{1/3})$ dans toute la fenêtre critique $(\beta_{s},\beta_{S})$ autour de $\beta_{c}$, et Blanca et Sinclair (In Proc. of the 19th International Workshop on Randomization and Computation (RANDOM 2015) (2015) 528–543) ont établit que $t_{\mathrm{mix}}\geq \exp(c\sqrt{n})$ dans la fenêtre critique pour le modèle de champs moyen FK, ce qui implique la même borne pour Swendsen–Wang grâce des estimées de comparaison connues. Dans les deux cas, une borne supérieure de $t_{\mathrm{mix}}\leq \exp(c'n)$ était connue. Dans cet article, nous montrons que le temps de mélange est vraiment exponentiel en $n$: plus précisément, $t_{\mathrm{mix}}\geq \exp (cn)$ pour la dynamique de Swendsen–Wang quand $q\geq 3$ et $\beta\in(\beta_{s},\beta_{S})$, et la même borne est vraie pour l’algorithme MCMC associé pour le modèle de champs moyen FK quand $q>2$.