On the thin-shell conjecture for the Schatten classes

Abstract

We study the thin-shell conjecture for the Schatten classes. In particular, we establish the conjecture for the operator norm, and we also improve on the best known bound for the Schatten classes, due to Barthe and Cordero-Erausquin (Proc. Lond. Math. Soc. 106 (2013) 33–64) or Lee and Vempala (2017), for a few more cases. We also show that a necessary condition for the conjecture to be true for any of the Schatten classes is a rather strong negative correlation property: as a consequence of this we obtain the validity of this negative correlation property for all the cases for which we already know the conjecture is true (as for example for the operator norm), but moreover also for all the cases for which we can get a better estimate than the one in (Proc. Lond. Math. Soc. 106 (2013) 33–64) or (Lee and Vempala (2017)). For the proofs, our starting point is techniques that were employed for the Schatten classes in (Math. Ann. 312 (1998) 773–783) and (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 43 (2007) 87–99) with regard to other problems.

Nous étudions la conjecture de la variance (ou autrement dit, de la concentration du volume d’un convexe dans une petite couronne euclidienne) pour les classes de Schatten. En particulier, nous établissons la conjecture pour la norme d’opérateur, et nous améliorons également le meilleur majorant connu, grâce à Barthe et Cordero-Erausquin (Proc. Lond. Math. Soc. 106 (2013) 33–64) ou Lee et Vempala (2017), dans quelques cas de plus.

Nous montrons aussi qu’une condition nécessaire pour que la conjecture soit vraie dans une des classes de Schatten est une propriété de corrélation négative qui doit être suffisamment forte: ceci implique que nous obtenons la validité de cette propriété dans tous les cas pour lesquels on peut démontrer la conjecture (comme par exemple pour la norme d’opérateur), mais aussi dans tous les cas pour lesquels on peut obtenir une meilleure estimation que celle dans (Proc. Lond. Math. Soc. 106 (2013) 33–64) ou (Lee and Vempala (2017)).

En ce qui concerne les démonstrations, notre point de départ consiste en des techniques qui ont été utilisées dans (Math. Ann. 312 (1998) 773–783) et (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 43 (2007) 87–99) pour les classes de Schatten dans le contexte d’autres problèmes connexes.