Transporting random measures on the line and embedding excursions into Brownian motion

Abstract

We consider two jointly stationary and ergodic random measures $\xi$ and $\eta$ on the real line $\mathbb{R}$ with equal intensities. An allocation is an equivariant random mapping from $\mathbb{R}$ to $\mathbb{R}$. We give sufficient and partially necessary conditions for the existence of allocations transporting $\xi$ to $\eta$. An important ingredient of our approach is a transport kernel balancing $\xi$ and $\eta$, provided these random measures are mutually singular. In the second part of the paper, we apply this result to the path decomposition of a two-sided Brownian motion into three independent pieces: a time reversed Brownian motion on $(-\infty,0]$, an excursion distributed according to a conditional Itô measure and a Brownian motion starting after this excursion. An analogous result holds for Bismut’s excursion measure.

On considère deux mesures aléatoires conjointement stationnaires et ergodiques $\xi$ et $\eta$ sur la droite réelle $\mathbb{R}$ et d’intensités égales. Une allocation est une carte aléatoire équivariante de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. On donne des conditions suffisantes et partiellement nécessaires pour l’existence d’allocations transportant $\xi$ sur $\eta$. Un ingrédient important de notre approche est un noyau de transport équilibrant $\xi$ et $\eta$, sous la condition que ces mesures aléatoires sont mutuellement singulières. Dans la deuxième partie de cet article, on applique ce résultat à la décomposition des trajectoires d’un mouvement brownien symétrique en trois parties indépendantes: un mouvement brownien renversé dans le temps sur $(-\infty,0]$, une excursion distribuée selon une mesure conditionnelle d’Itó, et un mouvement brownien après cette excursion. Un résultat analogue est valable pour la measure d’excursion de Bismut.