On the large deviations of traces of random matrices

Abstract

We present large deviations principles for the moments of the empirical spectral measure of Wigner matrices and empirical measure of $\beta $-ensembles in three cases: the case of $\beta $-ensembles associated with a convex potential with polynomial growth, the case of Gaussian Wigner matrices, and the case of Wigner matrices without Gaussian tails, that is Wigner matrices whose entries have tail distributions decreasing as $e^{-ct^{\alpha }}$, for some constant $c>0$ and with $\alpha \in (0,2)$.

Nous proposons des principes de grandes déviations pour les moments de la mesure spectrale empirique de matrices de Wigner et de la mesure empirique de $\beta $-ensembles dans trois cas : celui des $\beta $-ensembles associés à un potentiel convexe à croissance polynomiale, le cas des matrices de Wigner Gaussiennes, et le cas des matrices de Wigner sans queues Gaussiennes, c’est-à-dire dont les entrées ont une queue de distribution ayant le même comportement que $e^{-ct^{\alpha }}$, pour une certaine constante $c>0$ et $\alpha \in (0,2)$.