Project Euclid

References

• Briot et Bouquet, Intégration des équations différentilles au moyen des fonctions eliptiques (Journal de l'École Polytechnique, t. XXI).
• PainlevéLeçons de Stockholm, et Note sur les équations différentielles du premier ordre dont l'intégrate générale n'a qu'un nombre fini de branches, publiée dans le livre de M. Boutroux, Leçons sur les fonction définies par les équations différentielles du premier ordre (Collection de monographies sur la théorie des fontions publiée sons la direction de M. Émile Borel).
• Boutroux, Leçons sur les fonctions définies par les équations différentielles du premier ordre, p. 39–54.
• Painlevé, Leçons de Stockholm, p. 23.
• Voir Poincaré, Bulletin de la Société Mathématique, 1883, et Acta mathematica, t. XXXI.
• Voir É. Picard, Traité d'Analyse, t. III, p. 356.
• On dit qu'un chemin fermé ne tourne pas autour du point a, si l'on peut le réduire à un point par déformation continue sans qu'il passe par le point a (cf. la Note citée de M. Painlevé, p. 147).
• Nous n'essayons pas d'effectuer les calculs, car un raisonnement de M. Painlevé, que nous allons reproduire dans le cas général, montre que z₁ doit être une fonction rationnelle.
• Voir p. ex. Lie-Scheffers, Continuicrliche Gruppen, p. 780.
• Pour la démonstration suivante cf. Painlevé, Leçons de Stockholm, p. 44, 45.
• II pourrait exister un nombre fini de points $\bar x$ tels que la valeur obtenue pour $x = \bar x$ en prolongeant β_i le long du chemin considéré soit racine de l'équation $Q(\bar x,y) = 0$ d'un ordre de multiplicité plus grand que v_i; pour un tel point, on doit remplacer v_i par un nombre plus grand, mais on voit facilement que cela ne fait aucune difficulté pour les raisonnemants suivants.
• Voir p. ex. Baltzer, Theorie und Andwendung der Determinanten, p. 95, ou Pascal, Die Determinanten, p. 128.
• b ${}_{q}^{n}$ α ${}_{λμ}^{(ν)}$ , b ${}_{q}^{n}$ b ${}_{υ}^{2}$ a ${}_{μ}^{(ν)}$ sont des fonctions entières et rationnelles de a_o, a₁,... a_p, b_o, b₁,... b_q; α ${}_{λμ}^{r}$ sont indépendantes de a_o, a₁,... a_p; α(1) est égale à $ - n\frac{{ap}}{{bq}}$ et α(2),...α(n) sont nulles.
• On aura donc la solution du problème posé par M. Painlevé dans la Note citée, p. 178, note.
• Voir la Note de M. Painlevé, p. 170.