$\mathbb{P}^1$-localisation et une classe de Kodaira–Spencer arithmétique

Abstract

Dans cet article, on introduit et on étudie le concept de ${\mathbb{P}}^1$-localisation qui est la variante du concept de ${\mathbb{𝔸}}^1$-localisation où l’on remplace la droite affine par la droite projective. On démontre un théorème de ${\mathbb{P}}^1$-connexité en adaptant la preuve de Morel de son théorème de ${\mathbb{𝔸}}^1$-connexité. On s’intéresse ensuite à la ${\mathbb{P}}^1$-localisation du faisceau des formes différentielles absolues et on montre que son $0$-ième faisceau d’homologie est nul. Ceci nous amène naturellement à la définition d’une classe de Kodaira–Spencer arithmétique. Enfin, nous montrons un lien entre cette classe de Kodaira–Spencer arithmétique et les classes de Deligne–Illusie pour presque tout nombre premier, ce qui nous permet de prouver qu’elle est non identiquement nulle.

In this article, we introduce and study the concept of ${\mathbb{P}}^1$-localisation which is the variant of the concept of ${\mathbb{𝔸}}^1$-localisation where the affine line is replaced by the projective line. We prove a ${\mathbb{P}}^1$-connectivity theorem following the proof of Morel of his ${\mathbb{𝔸}}^1$-connectivity theorem. We then consider the ${\mathbb{P}}^1$-localisation of the sheaf of absolute differential forms and we show that its $0$-th homology sheaf vanishes. This naturally brings us to the definition of an arithmetic Kodaira–Spencer class. Finally, we establish a link between this arithmetic Kodaira–Spencer class and the Deligne–Illusie classes for almost all prime numbers, which enables us to prove that the former is not identically zero.