Réductions Kählériennes dans les groupes de Lie résolubles et applications

Abstract

This work is devoted to the Marsden--Weinstein reduction problem for Kaehlerian metrics [34]. We focus the attention on Kaehlerian manifolds $(M,\omega,J)$ whose underlying symplectic structures $(M,\omega)$ are homogeneous under symplectic actions of completely solvable Lie groups. Homogeneous symplectic manifolds of this type always admit lagrangian foliations. In this setting the starting Kaehlerian reduction problem yields new problems involving the topology of affinely flat manifolds [36]. The KV cohomology of these affinely flat structures is computed using techniques of spectral sequences. Questions close to bi-lagrangian structures are discussed. The KV cohomology of affinely flat manifolds is used to give new proofs of some known deep theorems. For instance we revisit the fundamental conjecture of Gindikin, Piateccii--Sapiro and Vinberg [18], [19]. The global geometry of compact symplectic solvmanifolds admitting Kaehlerian metrics is revisited. Various additonal items which are closely related to the reduction problem and to lagrangian foliations are discussed.

Ce travail est consacré à l'analogue Kählérien du problème de réduction des variétés symplectiques d'après Marsden-Weinstein [34]. L'accent est mis sur les variétés Kählériennes $(M,\omega,J)$ dont les structures symplectiques sous-jacentes $(M,\omega)$ sont homogènes sous des actions symplectiques des groupes de Lie complètement résolubles. Les variétés symplectiques homogènes de ce type portent toujours des feuilletages lagrangiens. Du problème initial de réduction Kählérienne surgisent des nouvelles questions liées à la topologie des variétés affinement plates [36]. La KV cohomologie de ces structures affinement plates est calculée par des techniques de suite spectrale. Des questions en relation avec les structures bi-lagangiennes sont discutées. Dans ce même contexte la KV cohomologie est utilisée pour donner des nouvelles démonstrations de certaines conjectures devenues théorèmes. C'est le cas de la conjecture fondamentale de Gindikin, Piateccii-Sapiro et Vinberg [18], [19]. Nous avons aussi revisité la géométrie globale des soluvariétés qui admettent des métriques Kählériennes. D'autres prolongements sont explorés mais non exploités.