Construction d'une extension régulière de {${\bf Q}(T)$} de groupe de Galois {$M\sb {24}$}

Abstract

Matzat has proved that the Mathieu group of degree 24 is a Galois group over the transcendent extension $\QQ(T)$. He does this by using a construction called nonrigid, proving the existence of a rational point in an appropriate Hurwitz space. Here we perform such a construction explicitly. We also deduce that, for any $\KK$ such that the equation $x^2+y^2+z^2=0$ has a nontrivial solution, there is a regular extension of $\KK(T)$ with Galois group $M_{23}$. To achieve this, we had to replace the usual tools of symbolic calculation by numerical constructions, and then to recover the algebraic objects by parametrizing certain curves of genus 0. This allows us to illustrate the power of covering map techniques developed in [Couveignes 1994; Couveignes et Granboulan 1994].

Matzat a prouvé que le groupe de Mathieu de degré 24 est groupe de Galois sur l'extension transcendante $\QQ(T)$. Il utilise pour cela une construction dite non rigide et prouve l'existence d'un point rationnel dans un espace de Hurwitz adéquat. Nous donnons ici une telle extension explicitement. Nous en déduisons aussi l'existence d'une extension régulière de $\KK(T)$ de groupe de Galois $M_{23}$ pour tout $\KK$ tel que l'équation $x^2+y^2+z^2=0$ ait une solution non triviale. Pour obtenir ces résultats, il a fallu remplacer les outils habituels du calcul formel par des constructions numériques et retrouver ensuite les objets algébriques en paramétrisant certaines courbes de genre 0. Cela nous permet d'illustrer la puissance des techniques de calcul de revêtements développées dans [Couveignes 1994; Couveignes et Granboulan 1994].