Le critère de Beurling et Nyman pour l'hypothèse de Riemann: aspects numériques

Abstract

Soit {\small $\B$} le sous-espace de {\small $\Hi=L^2(0,+\infty)$} composé des fonctions {\small $f$} telles que {\small $f(t)=\sum_{k=1}^{n} c_{k} \rho \left( \frac{\theta_{k}}{t} \right),\; n\in\N,\; c_{k}\in\C,\; 0<\theta_{k}\le 1,\;\mbox{ pour } 1 \leq k \le n$}, où {\small $\rho(t)$} désigne la partie fractionnaire de t. Notons aussi {\small $\chi$} la fonction caractéristique de l'intervalle ]0,1]. Un résultat bien connu de Nyman et Beurling implique que l'hypothèse de Riemann est vraie si et seulement si {\small $d(\chi,\B)=0$}. Nous présentons ici divers résultats numériques concernant l'approximation de {\small $\chi$} par des éléments de {\small$ \B$}.

Let {\small $\B$} be the subspace of {\small $\Hi=L^2(0,+\infty)$} consisting of the functions {\small $f$} such that {\small $f(t)=\sum_{k=1}^{n} c_{k} \rho \left( \frac{\theta_{k}}{t} \right), \; n\in\N,\; c_{k}\in\C,\; 0<\theta_{k}\le 1,\;\mbox{ for } 1 \leq k \le n $}, where {\small $\rho(t)$} denotes the fractional part of {\small $t$}. We also denote by $\chi$ the characteristic function of $(0,1]$. A well known result of Nyman and Beurling implies that the Riemann hypothesis holds if and only if {\small $d(\chi,\B) = 0$}. We present several numerical results about the approximation of $\chi$ by elements of {\small $\B$}.