La cohomologie des espaces de Lubin–Tate est libre

Abstract

Un des résultats principaux de ce travail est l’absence de torsion dans la ${\bar{\mathbb{Z}}}_l$-cohomologie de la tour de Lubin–Tate lorsque $l>2$. Comme dans mon article à Inventiones en 2009, la stratégie est globale et repose sur l’étude des diverses filtrations de stratification du faisceau pervers des cycles évanescents de certaines variétés de Shimura de type Kottwitz–Harris–Taylor. On montre que les gradués, pour la filtration utilisant les morphismes d’adjonction $j_{!}{j}^{\ast }⟶Id$, se décrivent comme la p-extension intermédiaire de systèmes locaux construits par Harris et Taylor dans leur livre. Le point crucial consiste à décrire la différence entre les p et $p+$ extensions de ces systèmes locaux. Pour ce faire, on utilise la théorie des dérivées pour les représentations du groupe mirabolique ainsi que des filtrations construites à partir de la stratification de Newton.

One of the main results of this work is the freeness in the ${\bar{\mathbb{Z}}}_l$-cohomology of the Lubin–Tate tower when $l>2$. As in my 2009 Inventiones paper, the strategy is of global nature and relies on studying the various filtration of stratification of the perverse sheaf of vanishing cycles of some Shimura varieties of Kottwitz–Harris–Taylor types. We show that these graded parts, when considering only the adjunction maps $j_{!}{j}^{\ast }⟶Id$, are given by the p-intermediate extensions of the local systems constructed by Harris and Taylor in their book. The crucial point relies on the study of the difference between the p and $p+$ intermediate extensions of these local systems. The main ingredients use the theory of derivative for representations of the mirabolic group and filtrations given by the Newton stratification.