Zéro-cycles sur les fibrations au-dessus d’une courbe de genre quelconque

Abstract

Soit $X$ une variété propre et lisse sur un corps de nombres $k$. Des conjectures sur l’image du groupe de Chow des zéro-cycles de $X$ dans le produit des mêmes groupes sur tous les complétés de $k$ ont été proposées par Colliot-Thélène, Kato et Saito. Nous démontrons ces conjectures pour l’espace total de fibrations en variétés rationnellement connexes vérifiant l’approximation faible, au-dessus de courbes dont le groupe de Tate–Shafarevich est fini, sous une hypothèse d’abélianité sur les fibres singulières.

Let $X$ be a smooth and proper variety over a number field $k$. Conjectures on the image of the Chow group of zero-cycles of $X$ in the product of the corresponding groups over all completions of $k$ were put forward by Colliot-Thélène, Kato and Saito. We prove these conjectures for the total space of fibrations, over curves with finite Tate–Shafarevich group, into rationally connected varieties which satisfy weak approximation, under an abelianness assumption on the singular fibers.