Restrictions of the Laplace-Beltrami eigenfunctions to submanifolds

Abstract

We estimate the $L^p$-norm ($2\le p\le +\infty$) of the restriction to a curve of the eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator on a Riemannian surface. If the curve is a geodesic, we show that on the sphere, these estimates are sharp. If the curve has nonvanishing geodesic curvature, we can improve our results. All our estimates are shown to be optimal for the sphere. Moreover, we sketch their extension to higher dimensions.

On prouve une estimation de la norme $L^p$ ($2\le p\le +\infty$) de la restriction à une courbe des fonctions propres de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur une surface riemannienne. Si la courbe est une géodésique de la sphère, on montre que nos estimations sont optimales. En revanche, si la courbe possède une courbure géodésique non nulle, on améliore le résultat. Toutes nos estimées sont optimales sur la sphère. Nous en esquissons par ailleurs des généralisations aux dimensions supérieures